240165 Riemannsche Fläche (V) (WiSe 2023/2024)

Riemannsche Flächen sind historisch entstanden als der
natürliche Definitionsbereich zunächst mehrdeutiger Funktionen, wie
etwa des Logarithmus oder der Wurzelfunktion. Die Theorie der
Riemannschen Flächen stellt somit eine natürliche Fortsetzung der
klassischen Funktionentheorie dar.
Beispiele von Riemannsche Flächen sind die komplexe Ebene \C, der
Projektive Raum \P^1, sowie Kurven höheren Geschlechts.
Es gibt holomorphe oder meromorphe Abbildungen zwischen Riemannschen
Flächen, und einige Sätze der Funktionentheorie verallgemeinern sich.
Gleichzeitig besitzen sie im allgemeinen nicht-triviale Topologie, und
die Geschlechter der Flächen hängen mit Abbildungsgraden bzw.
Vielfachheiten der holomorphen Abbildungen zwischen ihnen zusammen.
Die Theorie der Riemannschen Flächen steht in enger Verbindung zu
vielen anderen Bereichen der Mathematik. Sie verknüpft algebraische,
komplex-analytische, reell-analytische, topologische und
kombinatorische Methoden. Anwendungen der Theorie der Riemannschen
Flächen reichen von Differentialgeometrie über algebraische Geometrie
bis hin zur analytischen Zahlentheorie.

Teilnahmevoraussetzungen, notwendige Vorkenntnisse

Lineare Algebra I und II, Analysis I und II,
Funktionentheorie (kann auch gleichzeitig besucht werden). Vorkenntnisse aus der Algebra und Topologie sind
hilfreich aber nicht vorausgesetzt.