241448 Differentialtopologie (V) (WiSe 2019/2020)

ACHTUNG: TERMINÄNDERUNG!
Die Vorlesung wird Montag, 16-18 Uhr stattfinden, da der ursprüngliche Termin (Do, 14-16) zu viele Überschneidungen hatte.

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Wenn Geometrie das Studium von Formen ist, ist Topologie das Studium der zugrunde liegenden Objekte losgelöst von ihrer konkreten Form. Zum Beispiel ist für die Geometrie der Radius eines Kreises eine wesentliche Information während in der Topologie alle Kreise gleich sind. Auch Ellipsen sehen durch die topologische Brille aus wie Kreise und, wie hinlänglich bekannt ist, sehen Kaffeetassen aus wie Donuts.

In der Differentialtopologie geht es um diejenigen Objekte, die Formen ohne Ecken und Kanten zulassen. Offizielle heißen diese Objekte differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Sie sind gleichzeitig der natürliche Lebensraum für differenzierbare Abbildungen, weswegen sie vielerorts in der Mathematik und Physik auftauchen.

Ziel dieser Vorlesung ist es, zunächst einige grundlegende Begriffe und Beispiele einzuführen und darauf aufbauend eine Auswahl grundlegender Sätze zu beweisen, die ein flexibles und intuitives Arbeiten mit Mannigfaltigkeiten erlauben.

Der genaue Vorlesungsinhalt wird sich letztendlich auch an den Interessen und Vorkenntnissen der Zuhörer*innen orientieren. Hier eine Themenauswahl:

• Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Abbildungen
• Tangentialvektoren, -räume und -bündel
• Vektorfelder und Flüsse
• Allgemeine Vektor- und Faserbündel
• Normalenbündel und Tubenumgebungen
• Isotopien und Isotopieerweiterungssatz
• Transversalität und der Satz von Sard
• Abbildungsgrad und Schnittzahlen
• Bordismentheorie

Teilnahmevoraussetzungen, notwendige Vorkenntnisse

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Abbildungen sind gewissermaßen nichtlineare Versionen von Vektorräumen und linearen Abbildungen. Dementsprechend sollte man Grundkenntnisse aus Analysis und linearer Algebra mitbringen, um der Vorlesung zu folgen. Insbesondere die Differentialrechnung in mehreren Variablen wird eine zentrale Rolle spielen. Vorkenntnisse aus der Topologie sind hilfreich, aber nicht zwingend erforderlich.

Die Vorlesung richtet sich in erster Linie an Masterstudierende, die (mehr) über Mannigfaltigkeiten erfahren wollen. Aber auch interessierte Bachelorstudierende sind herzlich willkommen.

Literaturangaben

• Bröcker, Jänich: Einführung in die Differentialtopologie
• Guillemin, Pollack: Differential Topology
• Milnor: Topology from the differentiable viewpoint

Externe Kommentarseite

https://www.math.uni-bielefeld.de/~sbehrens/DiffTop1920.html