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241446 Seminar zur Morse Theorie (S+PS2) (WiSe 2019/2020)

Inhalt, Kommentar

Morse Theorie ist ein nützliches Hilfsmittel, um die Struktur differenzierbarer Mannigfaltigkeiten zu verstehen. Viele wichtige Fortschritte auf diesem Gebiet beruhen auf Morse Theorie. Hervorzuheben sind insbesondere der Beweis der Poincaré Vermutung in Dimension 5 und höher sowie der eng damit verbundene h-Kobordismussatz.

Die Idee ist wie folgt: man betrachtet eine sogenannte Morse Funktion auf einer gegebenen Mannigfaltigkeit und stellt sich letztere als Vereinigung der Niveaumengen der Funktion vor. Die regulären Niveaumengen sind wieder Mannigfaltigkeiten, allerdings einer Dimension niedriger, und die verschiedenen Niveaumengen werden durch den Fluss des (bzw. eines) Gradienten der Funktion in Verbindung gesetzt. Man stellt fest, dass die wesentliche Information über die Mannigfaltigkeit darin liegt, was beim Überqueren kritischer Werte der Funktion passiert. So erhält man einen sehr direkten Zugang zur topologischen Struktur der Mannigfaltigkeit.

In diesem Seminar sollen zunächst die Grundlagen der Morse Theorie entwickelt werden. Später werden einige Anwendungen besprochen. Hier eine Liste möglicher Vortragsthemen:

  • Morse Funktionen und ihre Eigenschaften
  • Existenz von Morse Funktionen
  • Gradientenartige Vektorfelder, stabile und instabile Mannigfaltigkeiten
  • Morse Funktionen und Henkelzerlegungen
  • Charakterisierung von Sphären
  • Erzeugung und Auslöschung kritischer Punkte, Henkelbewegungen
  • Klassifikation kompakter, differenzierbarer Flächen
  • Morse Homologie
  • Der h-Kobordismussatz
  • Die Poincaré Vermutung in Dimension 5 und höher

Teilnahmevoraussetzungen, notwendige Vorkenntnisse

Grundkenntnisse über differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Abbildungen sollten idealerweise vorhanden sein. Für die späteren Vorträge ist auch Vorwissen über Homologietheorie hilfreich bis notwendig. Dieses kann parallel in der Vorlesung "Algebraische Topologie" (Bauer) erworben werden.

Das Seminar richtet sich in erster Linie an Masterstudierende. Die erste Hälfte sollte aber auch für fortgeschrittene Bachelorstudierende zugänglich sein.

Literaturangaben

  • Milnor: Morse theory
  • Milnor: Lectures on the h-cobordism theorem
  • Nicolaescu: An invitation to Morse theory

Externe Kommentarseite

https://www.math.uni-bielefeld.de/~sbehrens/Morse1920.html

Lehrende

Termine (Kalendersicht )

Rhythmus Tag Uhrzeit Ort Zeitraum  
wöchentlich Mi 12-14   07.10.2019-31.01.2020

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Klausuren

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Fachzuordnungen

Modul Veranstaltung Leistungen  
24-M-P1 Profilierung 1 Profilierungsseminar Studienleistung
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24-M-P1a Profilierung 1 Teil A Profilierungsseminar Studienleistung
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24-M-P1b Profilierung 1 Teil B Profilierungsseminar Studienleistung
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24-M-P2 Profilierung 2 Profilierungsseminar Studienleistung
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24-M-PWM Profilierung Wirtschaftsmathematik Profilierungsseminar Studienleistung
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Die verbindlichen Modulbeschreibungen enthalten weitere Informationen, auch zu den "Leistungen" und ihren Anforderungen. Sind mehrere "Leistungsformen" möglich, entscheiden die jeweiligen Lehrenden darüber.

Konkretisierung der Anforderungen

Neben der Bereitschaft, einen oder mehrere Vorträge selbstständig zu erarbeiten und zu halten, wird eine aktive Teilnahme am Seminar erwartet. Auch wer nicht vorträgt sollte sich in das Thema der jeweiligen Sitzung einlesen. Im Fall von einem Vortrag ist zusätzlich eine schriftliche Ausarbeitung im Umfang von 5-10 Seiten anzufertigen. Bei mehreren Vorträgen wird darauf verzichtet.

Parallel zum Seminar ist der Besuch der Vorlesungen "Differentialtopologie" (Behrens) und/oder Algebraische Topologie" (Bauer) wärmstens zu empfehlen.

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