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240071 Geometrie und Topologie II (V) (WiSe 2017/2018)

Inhalt, Kommentar

Algebraische Invarianten topologischer Räume: Homologie und Kohomologie

Sei M eine Mannigfaltigkeit mit 17 Zusammenhangskomponenten. Für Mannigfaltigkeiten stimmen Zusammenhangskomponenten und Wegkomponenten überein. Die Äquivalenzrelation "- ist durch einen Weg verbunden mit -" hat also 17 Äquivalenzklassen. Die Zahl 17 läßt aber auch anders charakterisieren. Sei H_0(M;R) die Menge aller lokal-konstanten Funktionen auf M. Dann ist H_0(M;R) ein R-Vektorraum der Dimension 17, denn eine Funktion ist lokal-konstant auf M genau dann, wenn sie auf jeder Komponenten konstant ist. Darum ist eine lokal-konstante Funktion durch ihre 17 Werte auf den Komponenten bestimmt.

Die Anzahl der Komponenten ist die einfachste Invariante, die sich einer Mannigfaltigkeit zuordnen läßt. Beide Sichtweisen von eben lassen sich auf höhere Invarianten verallgemeinern. Der erste Zugang führt auf die sogenannte Homologie und der zweite Zugang auf die Kohomologie. Darum wird es gehen.

Literaturangaben

Hatcher: Algebraic Topology
Bott, Tu: Differential Forms in Algebraic Topology

Externe Kommentarseite

https://www.math.uni-bielefeld.de/~bux/2017_ws--Geometrie_und_Topologie_II/

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