240169 Homologietheorie (VÜA) (SoSe 2017)

Die Homologietheorie ist ein Teilgebiet der Topologie, in dem algebraische Methoden angewendet werden. Aus ihr ging die algebraische Topologie hervor, und inzwischen werden homologische Methoden in vielen Teilgebieten der Mathematik angewendet.

Ausgangspunkt ist der Begriff der Homologie von Wegen in einem topologischen Raum. Zwei Wege von a nach b heißen homolog, wenn man eine orientierte Fläche so in den Raum abbilden kann, dass ihr Rand auf die Verkettung des ersten Weges mit dem in umgekehrter Richtung durchlaufenen zweiten Weg abgebildet wird. Ist der Raum eine offene Teilmenge des dreidimensionalen Euklidischen Raumes, so ist die Arbeit, die bei der Verschiebung eines Massenpunktes längs homologer Wege in einem wirbelfreien Kraftfeld verrichtet wird, die gleiche.

Zu den innermathematischen Anwendungen zählen

• der Brouwersche Fixpunktsatz, nach dem eine stetige Abbildung einer abgeschlossenen Kugel in sich selbst stets einen Fixpunkt hat,
• der Satz von der Gebietsinvarianz, nach dem für eine injektive stetige Abbildung einer offenen Teilmenge eines n-dimensionalen Vektorraums in einen n-dimensionalen Vektorraum die Bildmenge ebenfalls offen ist,
• der Jordan-Brouwersche Trennungssatz, nach dem das Bild einer injektiven stetige Abbildung einer (n-1)-dimensionalen Sphäre in einen n-dimensionalen Vektorraum diesen in zwei Gebiete teilt.

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Vorlesung Geometrie/Topologie I

Bibliography

• V. Prasolov, Elements of homology theory, American Math. Soc. 2007, QA630 P911
• J. Vick, Homology theory, Academic Press 1973, QA630 V636