240079 Numerik dynamischer Systeme (V) (SoSe 2016)

Diese Vorlesung ist insbesondere als Spezialisierung im Masterstudium geeignet
und wendet sich an Studierende, die bereits Numerik I
und eine weiterführende Vorlesung in Numerik gehört haben.
In der Theorie dynamischer Systeme beschreibt man das Langzeitverhalten
der Lösungen von Evolutionsgleichungen, wobei die Zeit entweder
kontinuierlich in den reellen Zahlen oder aber diskret in den ganzen Zahlen
abläuft.Im zeitkontinuierlichen Fall handelt es sich um gewöhnliche autonome
Differentialgleichungen und im zeitdiskreten Fall um Iterationen
nichtlinearer Abbildungen eines endlich dimensionalen Raums.
Berücksichtigt man unendlich dimensionale Phasenräume, so kann man auch
das Langzeitverhalten zeitabhängiger partieller Differentialgleichungen,
einordnen.

Zunächst werden allgemeine Grundbegriffe aus der Theorie dynamischer
Systeme auf metrischen Räumen dargestellt (Stetigkeit, Gleichgewicht,
periodischer Orbit, invariante Menge, Limesmenge, asymptotische Stabilität,
Attraktor) und ihre Beziehungen diskutiert.
Im nächsten Schritt wird für den endlich dimensionalen Fall analysiert,
welchen Einfluss die numerische Diskretisierung der Zeit, d.h. der
Übergang von einem zeitkontinuierlichen zu einem zeitdiskreten System,
auf das Langzeitverhalten der Orbits hat (Shadowing Sätze,
Attraktorapproximation). Auch werden Methoden besprochen, die für das
Langzeitverhalten entscheidenden Limesmengen (Gleichgewichte, periodische
Orbits, Attraktoren) direkt durch Lösung geeigneter Gleichungssysteme zu
bestimmen.

Im weiteren Verlauf werden Diskretisierungen von
elliptischen und parabolischen Differentialgleichungen unter
Randbedingungen mit der Finiten-Elemente- bzw. der Finite-Differenzen-Methode
besprochen. Insbesondere wird auf die numerische Lösung der entstehenden
großen Gleichungssysteme sowie auf die Stabilität und Konvergenz der Verfahren
eingegangen.