241036 Invariantentheorie (VÜA) (WiSe 2014/2015)

In dieser Theorie betrachtet man Vektorräume, Ringe oder algebraischen Mannigfaltigkeiten, auf denen eine Gruppe operiert. Historisch ging es zunächst darum, den Unterraum oder Unterring der invarianten Elemente in konkreten Beispielen zu bestimmen. So ist beispielsweise der Ring der symmetrischen Polynome selbst ein Polynomring in den elementarsymmetrischen Polynomen. Später verlagerte sich der Schwerpunkt auf die Untersuchung der Eigenschaften des Rings der Invarianten in allgemeinen Situationen. Schließlich traten geometrische Fragestellungen in den Vordergrund. Betrachtet man nämlich den Ring der regulären Funktionen auf einer affinen algebraischen Mannigfaltigkeit, so ist der Ring der invarianten Funktionen nichts anderes als der Ring der regulären Funktionen auf der Quotientenmannigfaltigkeit, falls letztere existiert. Dies ist ein wichtiger Schritt bei der Konstruktion von Modulräumen.

In der Vorlesung werden wichtige Grundideen vermittelt, ohne Kenntnisse der algebraischen Geometrie vorauszusetzen.

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Algebra I

Bibliography

• T. A. Springer, Invariant theory. Springer-Verlag 1977
• H. Kraft, Geometrische Methoden der Invariantentheorie, Vieweg-Verlag 1984