240077 Algebraische Zahlentheorie (V) (WiSe 2024/2025)

Jede natürliche Zahl besitzt bekanntlich eine eindeutige Faktorisierung in Primzahlen.
In den Ganzheitsringen algebraischer Zahlenkörper, d.h. endliche Erweiterungen der rationalen Zahlen, gilt dies im Allgemeinen nicht mehr.
Diese Ganzheitsringe erlauben jedoch (wie jeder Dedekindring) eine eindeutige Faktorisierung ihrer Ideale in Primideale.

In der Vorlesung wollen wir zunächst die Idealtheorie in Dedekindringen studieren.
Danach werden wir mit Hilfe geometrischer Methoden die Einheitengruppen von Ganzheitsringen beschreiben und zeigen, dass sie bis auf Isomorphie nur endlich viele Ideale besitzen.
Zum Abschluss wollen wir die Bewertungstheorie von algebraischen Zahlkörpern diskutieren und damit Fragen z.B. über Verzweigung beantworten.

Als leitende Beispiele dienen uns quadratische Körper und Kreisteilungskörper.

Bibliography

Die Vorlesung basiert auf dem ersten Kapitel von J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer, 1992 sowie A. Fröhlich und M. J. Taylor, Algebraic Number Theory, CUP, 1993.