241206 Morse Theorie und der h-Kobordismussatz (S) (WiSe 2022/2023)

Der h-Kobordismussatz ist ein grundlegendes Resultat über differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimensionsn 5 und höher. Er liefert ein äußerst nützliches Kriterium, um zu entscheiden, ob zwei Mannigfaltigkeiten diffeomorph sind.

Satz (h-Kobordismussatz):
Sei W eine kompakte diferenzierbare (n+1)-Mannigfaltigkeit, deren Rand die disjunkte Vereinigung zweier n-Mannigfaltigkeiten V und V' ist. Sei zusätzlich W einfach zusammenhängend, die Inklusion VW eine Homotopieäquivalenz und n>5. Dann ist W diffeomorph zu Vx[0,1], so dass V auf Vx0 und V' auf Vx1 abgebildet werden. Insbesondere sind V und V' diffeomorph.

Konsequenzen sind unter anderem eine höherdimensionale Version der Poincaré Vermutung: ist eine Mannigfaltigekt V homotopieäquivalent zu S^n mit n>4, so ist V homöomorph zu S^n.

Das Seminar orientiert sich am Buch "Lectures on the h-cobordism theorem" von John W. Milnor. Der dort geführte Beweis basiert auf Morse Theorie, deren Methoden zu Beginn des Semesters je nach Vorwissen erarbeitet oder rekapituliert werden sollen. Danach wenden wir uns dem Beweis des h-Kobordismussatzes und einiger seiner Korollare zu. Neben viel interessanter Mathematik bietet Milnor vor allem ein Paradebeispiel für mathematisches Schreiben.

(Ein detaillierterer Seminarplan folgt in Kürze)

Requirements for participation, required level

Neben Grundkenntnissen über differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind vor allem in der zweiten Semesterhälfte einige Vorkenntnisse aus der algebraischen Topologie (insbesondere Homologietheorie) notwendig.

Bibliography

John W. Milnor - Lectures on the h-cobordism theorem
(verfügbar auf https://oldbookstonew.blogspot.com/2018/12/books-in-progress.html)