240221 Spezielle Aspekte: Knoten und Zöpfe (V) (WiSe 2012/2013)

Um es gleich vorwegzunehmen: Diese Veranstaltung wird nicht das Schnüren praxistauglicher Knoten behandeln; vielmehr soll ein Einblick in die mathematische Knotentheorie, ein (vergleichsweise) junges und faszinierendes Teilgebiet der Topologie, gegeben werden.
Im Gegensatz zu einem üblichen Knoten (in einem Schnürsenkel etwa) sind bei einem mathematischen Knoten die Enden verbunden, und eine grundlegende Fragestellung besteht nun darin zu entscheiden, ob zwei gegebene Knoten äquivalent sind, d.h. ob sie durch Bewegung im umgebenden Raum ineinander überführt werden können. Dazu bietet es sich an, einem gegebenen Knoten mathematisch etwas zuzuordnen, das unter solchen Bewegungen unverändert bleibt, also eine Invariante des Knotens darstellt. Wichtige Beispiele solcher Invarianten sind sogenannte Knotenpolynome; diese sind algorithmisch erklärt und lassen sich leicht (auf zeichnerische Art) bestimmen, so dass sie eine einfache Möglichkeit bieten, eine Vielzahl von Knoten zu unterscheiden.
Die Zöpfe wiederum sind nahe Verwandte der Knoten; dieser Umstand spiegelt sich auch in ihrer mathematischen Theorie wieder, und daher soll diese ebenfalls Gegenstand der Veranstaltung sein.