240215 Vertiefung Gruppen und Symmetrien (V) (WiSe 2011/2012)

Symmetrie - was ist das eigentlich? Der mathematische Begriff der
(Symmetrie-)gruppe bietet ein umfangreiches und mächtiges
Instrumentarium, um Symmetrien in verschiedensten Kontexten effektiv
zu beschreiben und zu quantifizieren. Gruppen spielen eine zentrale
Rolle in nahezu allen Bereichen der modernen Mathematik, etwa in der
Beschreibung der Symmetrien geometrischer Konfigurationen und im
Studium der Frage nach der Loesbarkeit algebraischer Gleichungen. Auch
außerhalb der Mathematik kommen Gruppen zum Einsatz, etwa in der
Beschreibung der Symmetrien physikalischer Systeme, in der
Krystallographie sowie in Kunst und Architektur (bei der Bestimmung
der Symmetrien von Mustern und Ornamenten).

In der Vorlesung wird der Gruppenbegriff von Grund auf erarbeitet, und
einige zentrale Arbeitsmittel der Gruppentheorie zur Verfügung
gestellt. Behandelt werden, unter anderem, Themen wie Untergruppen,
Normalteiler, Homomorphismen und Isomorphismen, Quotientengruppen,
Gruppenwirkungen und der Bahnensatz, die Sätze von Lagrange, Cayley
und Sylow, Permutationsgruppen, Matrixgruppen, Euklidische Gruppen und
Platonische Körper, Ornamentgruppen.