240034 Proseminar Kettenbrüche (PS) (SoSe 2021)

Der Kettenbruchalgorithmus liefert rationale Näherungsbrüche für irrationale Zahlen. Bestimmte Eigenschaften einer irrationalen Zahl kann man an ihrem Kettenbruch ablesen.

So ist z. B. die Folge der Teilnenner des Kettenbruchs genau dann periodisch, wenn die Irrationalzahl Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten ist. In diesem Fall hängt der Kettenbruchalgorithmus eng mit dem Gaußschen Reduktionsalgorithmus für ganzzahlige quadratische Formen zusammen.

Auch die Lösungen von Gleichungen beliebigen Grades (sogenannte algebraische Zahlen) kann man durch die Güte ihrer Approximationen charakterisieren, und dies lieferte die früheste Konstruktion transzendenter, d. h. nichtalgebraischer Zahlen.

Kettenbrüche lassen sich auch mit Funktionen bilden und liefern Approximationen von Potenzreihen durch rationale Funktionen.

Bibliography

Für eine erste Bekanntschaft mit dem Thema sei auf folgende elementare Einführungen verwiesen:

• C. G. Moore, An Introduction to Continued Fractions, The National Council of Teachers of Mathematics, Washington, DC, 1964. QC420 M821

• C. D. Olds, Continued Fractions, Random House, 1963. QC420 O44