240033 Proseminar Diskrete dynamische Systeme (PS) (WiSe 2020/2021)

Die zeitliche Veränderung von Systemen, etwa in den Naturwissenschaften, lässt sich im einfachsten Fall durch die wiederholte Anwendung einer Abbildung F beschreiben. Hierbei gibt F an, wie sich der Zustand des Systems in einem Zeitschritt entwickelt. Wir werden uns dabei weitgehend auf Systeme beschränken, deren Zustand durch einen reellen Parameter beschrieben werden kann. Dies erlaubt es, bereits mit Vorkenntnissen aus dem ersten Studienjahr Konzepte zu behandeln, die für (auch allgemeinere) dynamische Systeme von zentraler Bedeutung sind. Andererseits können auch solche vergleichsweise einfachen dynamische Systeme ein erstaunlich komplexes Verhalten bis hin zum sogenannten Chaos aufweisen.

Für ein dynamisches System wie oben beschrieben ist die Lösung bzw. der Orbit zu einem Anfangszustand x durch die Folge (x, F(x), F(F(x)), ...) gegeben.
Wir werden uns zunächst mit speziellen Lösungen wie stationären Zuständen und periodischen Orbits beschäftigen. Für solche spezielle Lösungen ist eine zentrale Frage, ob sie stabil sind, d.h. ob Lösungen, die nahe an solchen Orbits starten, auch in der Nähe dieser Orbits bleiben.
Häufig hängt die zeitliche Entwicklung eines Systems (und damit die Abbildung F) von einem zusätzlichen Parameter ab. Wir werden untersuchen, wie gewisse Eigenschaften des Systems durch Parameteränderungen beeinflusst werden können. Dies wird uns zur Verzweigungstheorie führen.
Abschließend werden wir uns mit chaotischen Systemen beschäftigen.

Die Vorträge beruhen auf Abschnitten aus den Büchern von Martelli und Devaney. Diese sind in englischer Sprache verfasst, die Vorträge werden aber auf deutsch stattfinden.

Vorkenntnisse:
Analysis I + II

Vorbesprechung:
Die Vorbesprechung hat am 15.09.2020 stattgefunden.

Hinweis aufgrund der aktuellen Situation:
Das Proseminar wird im kommenden Wintersemester online durchgeführt.

Literaturangaben

R. L. Devaney: A First Course in Chaotic Dynamical Systems, Addison-Wesley, 1992.
M. Martelli: Introduction to Discrete Dynamical Systems and Chaos, John Wiley & Sons, 1999, https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9781118032879 (über das Universitätsnetz verfügbar).