240023 Geometrie und Topologie (V) (SoSe 2020)

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Die Veranstaltung findet bis auf Weiteres nicht als Präsenzveranstaltung statt. Die Vorlesung wird durch Videoaufzeichnungen und Lektüre im Selbststudium ersetzt. Sie erhalten das notwendige Material über den Lernraum zur Veranstaltung. Organisatorische Hinweise (z.B. auch zum Übungsbetrieb) werden ebenfalls im Lernraum bekannt gegeben.

Contents, comment

Geometrie ist eine der ältesten Disziplinen der Mathematik. Ihre Fragestellungen involvieren zum Beispiel eindimensionale Objekte wie Geraden, Dreiecke und Kreise, zweidimensionale Objekte wie Ebenen und Sphären, und auch dreidimensionale Objekte wie Würfel und Kugeln. Die anschauliche Natur dieser Objekte stellt die Mathematik allerdings vor eine Herausforderung. Bei genauerer Betrachtung stellt sich nämlich immer wieder eine Frage: Was ist das eigentlich? Was ist eigentlich eine Gerade? Was heißt eigentlich Dimension? Was unterscheidet eigentlich eine Gerade von einer Ebene? Offensichtlich ist ein Kreis etwas anderes als eine Gerade. Schließlich ist die Kreislinie nicht gerade, sondern gekrümmt. Aber was ist eigentlich Krümmung? Um mathematisch präzise mit diesen Begriffen arbeiten zu können, muss man sie zunächst in einem mathematischen Modell mit Sinn füllen. Die moderne Geometrie ist geschrieben in der Sprache der Topologie. Letztere soll in dieser Vorlesung systematisch entwickelt werden. Das Resultat ist eine sehr flexible Theorie, deren Bedeutung für die moderne Mathematik sich unmöglich in wenigen Absätzen fassen lässt.

Der Startpunkt der Topologie ist die Idee der Stetigkeit, dass kleine Änderungen kleine Wirkungen haben sollten, und die Frage, wie man sie formalisieren kann. Nach einer kurzen Wiederholung von metrischen Räumen wenden wir uns dem allgemeineren Konzept von topologischen Räumen zu, dessen Nützlichkeit im Laufe der Vorlesung deutlich wird. Es wird sich herausstellen, dass diese Verallgemeinerung dermaßen drastisch ist, dass vermeintliche Selbstverständlichkeiten nicht mehr ohne weiteres gelten. Zum Beispiel kann ein und dieselbe Folge plötzlich mehrere Grenzwerte haben. Dies macht es notwendig, zusätzliche Eigenschaften zu finden, die derartige Merkwürdigkeiten ausschließen.

Nachdem wir uns halbwegs in der Welt der allgemeinen topologischen Räume zurechtfinden, wenden wir uns einer wichtigen Klasse von Spezialfällen zu, den differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Diese liefern nicht nur viele interessante topologische Räume. Sie bilden auch die Grundlage der Riemannschen Geometrie, die es erlaubt, nichtlineare geometrische Phänomene wie Krümmungen zu modellieren. Außerdem kann man auf ihnen Analysis wie Differential- und Integralrechnung betreiben und sie tauchen (zumindest implizit) an vielen Stellen in der Physik auf. Es gibt also genügend Gründe, differenzierbare Mannigfaltigkeiten interessant zu finden.

Schließlich wenden wir uns der Frage zu, wie man zwei topologische Räume voneinander unterscheiden kann. Wie sich nämlich herausstellt ist die vermeintlich banale Frage, ob eine Ebene homöomorph zu einer Gerade ist, alles andere als banal. Jedem topologischen Raum lässt sich systematisch ein algebraisches Objekt, die sogenannte Fundamentalgruppe, zuordnen. Räume mit algebraisch verschiedenen Fundamentalgruppen müssen auch topologisch verschieden sein. Dieses Zusammenspiel zwischen Algebra und Topologie ist ein erster Einblick in die algebraische Topologie.

Erfahrungsgemäß bietet der Stoff der Vorlesung diverse Gelegenheiten, den Boden unter den Füßen zu verlieren. Um die nötige Bodenhaftung zu gewährleisten, soll die abstrakte Theorie stets an konkreten Beispielen illustriert werden.

Requirements for participation, required level

Grundkenntnisse der (mehrdimensionalen) Analysis und der linearen Algebra. Erfahrungen im Umgang mit metrischen und/oder normierten Räumen ist hilfreich, wenn auch nicht zwingend erforderlich

Bibliography

Die Vorlesung orientiert sich an den ersten drei Kapiteln aus dem Buch "Topology and Geometry" von Glen E. Bredon.

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https://www.math.uni-bielefeld.de/~sbehrens/GeoTopo2020.html

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weekly Di 16-18 H11 06.04.-17.07.2020
weekly Do 10-12 C0-269 06.04.-17.07.2020

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Subject assignments

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24-A2 Aufbaumodul Mathematik 2 Vorlesung gemäß Modulbeschreibung Student information
- Graded examination Student information
24-B-GT-5 Geometrie und Topologie (5LP) Geometrie und Topologie Student information
24-B-GT_ver1 Geometrie und Topologie Geometrie und Topologie Graded examination
Student information
24-E Ergänzungsmodul Mathematik Vorlesung gemäß Modulbeschreibung Student information
24-M-GM Grundlagen Mathematik Spezialisierungskurs Mathematik Graded examination
Student information

The binding module descriptions contain further information, including specifications on the "types of assignments" students need to complete. In cases where a module description mentions more than one kind of assignment, the respective member of the teaching staff will decide which task(s) they assign the students.

Degree programme/academic programme Validity Variant Subdivision Status Semester LP  
Studieren ab 50    

Grundsätzliche Informationen zu Studienleistungen und Prüfungen befinden sich in der Modulbeschreibung. Einzelheiten zum Übungsbetrieb und zu den Prüfungen werden in der Veranstaltung bekannt gegeben.

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