240023 Geometrie und Topologie (V) (SoSe 2020)

Geometrie ist eine der ältesten Disziplinen der Mathematik. Ihre Fragestellungen involvieren zum Beispiel eindimensionale Objekte wie Geraden, Dreiecke und Kreise, zweidimensionale Objekte wie Ebenen und Sphären, und auch dreidimensionale Objekte wie Würfel und Kugeln. Die anschauliche Natur dieser Objekte stellt die Mathematik allerdings vor eine Herausforderung. Bei genauerer Betrachtung stellt sich nämlich immer wieder eine Frage: Was ist das eigentlich? Was ist eigentlich eine Gerade? Was heißt eigentlich Dimension? Was unterscheidet eigentlich eine Gerade von einer Ebene? Offensichtlich ist ein Kreis etwas anderes als eine Gerade. Schließlich ist die Kreislinie nicht gerade, sondern gekrümmt. Aber was ist eigentlich Krümmung? Um mathematisch präzise mit diesen Begriffen arbeiten zu können, muss man sie zunächst in einem mathematischen Modell mit Sinn füllen. Die moderne Geometrie ist geschrieben in der Sprache der Topologie. Letztere soll in dieser Vorlesung systematisch entwickelt werden. Das Resultat ist eine sehr flexible Theorie, deren Bedeutung für die moderne Mathematik sich unmöglich in wenigen Absätzen fassen lässt.

Der Startpunkt der Topologie ist die Idee der Stetigkeit, dass kleine Änderungen kleine Wirkungen haben sollten, und die Frage, wie man sie formalisieren kann. Nach einer kurzen Wiederholung von metrischen Räumen wenden wir uns dem allgemeineren Konzept von topologischen Räumen zu, dessen Nützlichkeit im Laufe der Vorlesung deutlich wird. Es wird sich herausstellen, dass diese Verallgemeinerung dermaßen drastisch ist, dass vermeintliche Selbstverständlichkeiten nicht mehr ohne weiteres gelten. Zum Beispiel kann ein und dieselbe Folge plötzlich mehrere Grenzwerte haben. Dies macht es notwendig, zusätzliche Eigenschaften zu finden, die derartige Merkwürdigkeiten ausschließen.

Nachdem wir uns halbwegs in der Welt der allgemeinen topologischen Räume zurechtfinden, wenden wir uns einer wichtigen Klasse von Spezialfällen zu, den differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Diese liefern nicht nur viele interessante topologische Räume. Sie bilden auch die Grundlage der Riemannschen Geometrie, die es erlaubt, nichtlineare geometrische Phänomene wie Krümmungen zu modellieren. Außerdem kann man auf ihnen Analysis wie Differential- und Integralrechnung betreiben und sie tauchen (zumindest implizit) an vielen Stellen in der Physik auf. Es gibt also genügend Gründe, differenzierbare Mannigfaltigkeiten interessant zu finden.

Schließlich wenden wir uns der Frage zu, wie man zwei topologische Räume voneinander unterscheiden kann. Wie sich nämlich herausstellt ist die vermeintlich banale Frage, ob eine Ebene homöomorph zu einer Gerade ist, alles andere als banal. Jedem topologischen Raum lässt sich systematisch ein algebraisches Objekt, die sogenannte Fundamentalgruppe, zuordnen. Räume mit algebraisch verschiedenen Fundamentalgruppen müssen auch topologisch verschieden sein. Dieses Zusammenspiel zwischen Algebra und Topologie ist ein erster Einblick in die algebraische Topologie.

Erfahrungsgemäß bietet der Stoff der Vorlesung diverse Gelegenheiten, den Boden unter den Füßen zu verlieren. Um die nötige Bodenhaftung zu gewährleisten, soll die abstrakte Theorie stets an konkreten Beispielen illustriert werden.

Requirements for participation, required level

Grundkenntnisse der (mehrdimensionalen) Analysis und der linearen Algebra. Erfahrungen im Umgang mit metrischen und/oder normierten Räumen ist hilfreich, wenn auch nicht zwingend erforderlich

Bibliography

Die Vorlesung orientiert sich an den ersten drei Kapiteln aus dem Buch "Topology and Geometry" von Glen E. Bredon.

External comments page

https://www.math.uni-bielefeld.de/~sbehrens/GeoTopo2020.html