240081 Invarianz und Stabilität (V) (SoSe 2010)

In der linearen Algebra lernt man einen Vektorraum
nach den invarianten Unterräumen eines linearen Endomorphismus
zu zerlegen. Dies entspricht der Zerlegung einer quadratischen Matrix
in Blöcke. Unter gewissen Bedingungen bleiben solche Zerlegungen stabil,
d.h. sie werden nur wenig gestört, wenn die Matrix gestört wird.

Das Thema der Vorlesung sind nichtlineare Verallgemeinerungen
dieser Situation. Dabei geht es um Gleichgewichte (Fixpunkte) nichtlinearer Abbildungen bzw.
der Lösungsflüsse von Differentialgleichungen.
An die Stelle der Unterräume treten invariante Mannigfaltigkeiten,
die Störungsunempfindlichkeit führt auf den Begriff der Strukturstabilität.
Diese Begriffe sind entscheidend für die Untersuchung des Langzeitverhaltens dynamischer Systeme.

Stichworte zu den weiteren Inhalten:

Stabilitätssätze für Gleichgewichte, stabile und instabile Mannigfaltigkeit,
Hyperbolizität, der Linearisierungssatz von Hartman-Grobman,
exponentielle Dichotomien, die Zentrumsmannigfaltigkeit, nichtlineare
Normalformentheorie, numerische Methoden.

Vorausgesetzt werden gute Analysiskenntnisse sowie Grundkenntnisse
aus Vorlesungen über gewöhnliche Differentialgleichungen und Numerik I.

Fortsetzung:
An die elementaren Themen kann sich im folgenden Semester sowohl ein Seminar als auch
eine Bachelorarbeit anschließen.
Die fortgeschrittenen Themen sind für eine anschließende Masterarbeit geeignet.