241407 Funktionentheorie (V) (SoSe 2004)

Eine komplexe Funktion $f$ auf einer offenen Teilmenge $U$ der komplexen Ebene hei"st {\em holomorph}, wenn der Grenzwert $\lim_{z \to w} \frac {f(z)-f(w)} {z-w}$ fuer jeden Punkt $w$ in $U$ existiert. Diese Bedingung hat weitere Konsequenzen, als man sie aus der Kenntnis der reellen Situation erwarten wuerde. Zum Beispiel ist $f$ lokal immer in eine Taylorreihe entwickelbar (was nicht fuer differenzierbare Funktionen einer reellen Veraenderlichen der Fall ist). In dieser Vorlesung soll die elementaere Theorie holomorpher Funktionen behandelt werden, die sowohl in vielen Gebieten der Mathematik wie auch in der Physik von grundlegender Bedeutung ist. Dies umfasst u.a.: komplexe Differenzierbarkeit, Taylorreihen, Wegintegrale, den Integralsatz von Cauchy, Residuenrechnung, den Riemannschen Abbildungssatz, harmonische Funktionen.