240480 Tropische Geometrie (S) (WiSe 2008/2009)

Die tropische Geometrie stellt einen Zusammenhang zwischen
geometrischen und kombinatorischen Objekten her. Ein aehnlicher
Zusammenhang wird bereits in der Theorie der torischen Varietaeten
hergestellt, allerdings sind in dieser Theorie die Objekte auf der
geometrischen Seite von sehr spezieller Form. Das Ziel der tropischen
Geometrie ist es, sowohl auf der kombinatorischen als auch auf der
geometrischen Seite eine groessere Klasse von Objekten (und Morphismen)
zu finden derart, dass die Kombinatorik die Geometrie vollstaedig
beschreibt.

Einerseits wird dafuer dabei der der tropische Ring verwendet, das ist
die Menge der reellen Zahlen mit min(a,b) als Addition und a+b als
Multiplikation. Ein Polynom in n Variablen ueber dem tropischen Ring
ist eine konkave stueckweise lineare Funktion R^n \to R. Andererseits
wird die nichtarchimedische Amoebe einer Varietaet V in (k^*)^n
verwendet, das ist die Menge aller (v(a_1),...,v(a_n)), fuer
(a_1,...,a_n) in V und v:kR eine nichtarchimedische Bewertung.

Die tropische Geometrie ist erst im Entstehen begiffen; so wurde etwa
die "richtige" Definition einer tropischen Varietaet bisher noch nicht
gefunden. Siehe auch http://arxiv.org/abs/math.AG/0306366 und http://
arxiv.org/abs/math.AG/0403015