240087 Gruppentheorie (V) (SoSe 2006)

Zitat aus

Arno Mitschka: Elemente der Gruppentheorie, Herder, Freiburg (1972)

Der Begriff der Gruppe ist einer der wichtigsten Strukturbegriffe der modernen Mathematik. Obwohl die Anfaenge der Gruppentheorie bis ins Ende des 18. Jahrhunderts zurueckreichen, ist ihre umfassende Bedeutung erst in den letzten 30 Jahren erkannt worden, seit insbesondere unter dem Namen Bourbaki versucht wurde, die gesamte Mathematik systematisch neu zu ordnen. Nach Bourbaki gibt es drei Strukturtypen: Ordnungsstrukturen, algebraische und topologische Strukturen. Obwohl ein algebraischer Begriff, ist der Gruppenbegriff auch auf andere Bereiche der Mathematik, insbesondere die Geometrie und die Zahlentheorie, anwendbar. Er wird dadurch zu einem Mittel, das zwischen scheinbar getrennten Disziplinen der Mathematik formale Zusammenhaenge herstellt, Entsprechungen aufdeckt und in einer gemeinsamen Zeichensprache, dem Formalismus der abstrakten Algebra, darzustellen gestattet.

Diese Entwicklung bringt zugleich mit einer zunehmenden Abstraktion auch eine wachsende Vereinfachung durch Zusammenfassung und Angleichung von Denkprozessen und Beweisverfahren mit sich. An dieser Entwicklung der mathematischen Wissenschaft konnte die Didaktik nicht vorbeigehen, zumal sich hier ein Weg eroeffnete, in der Didaktik der Schulmathematik wesentliche Gesichtspunkte der mathematischen Wissenschaft fruchtbar zur Geltung zu bringen und von einem Aufbau der Schulmathematik loszukommen, der zwar historisch verstaendlich ist, aber dem inneren Aufbau der Wissenschaft nicht entspricht. Denn in der traditionellen Schulmathematik wird mehr oder weniger verschiedenartiges Material aufeinandergeschichtet, ohne dass die notwendigen Verknuepfungen, z. B. zwischen Arithmetik, Geometrie und Algebra, hergestellt werden. so fehlt es dem Schueler an Ueberblick und an methodischem Ruestzeug zum Eindringen in die Denkwege der Mathematik. Kein Wunder, dass darueber der Rechenkalkuel ungebuehrlich in den Vordergrund tritt - zumal er leichter kontrollierbar ist - und die schoepferische Freude am mathematischen Denken weitgehend auf der Strecke bleibt. So erhofft sich die neuere Didaktik der Schulmathematik von der Aufnahme der strukturellen Gesichtspunkte neue Anstoesse, die die Mathematik fuer den Schueler ueberschaubarer und zu gleich vergnueglicher machen. Dass eine Entwicklung mathematischer Bildung in allen Schichten bei der enorm wachsenden Bedeutung der Mathematik fuer die Organisation der Wissenschaft, Technik und Planung aller Art im Leben der heutigen Industriegesellschaft dringend notwendig ist, wird niemand mehr bezweifeln. Dass das nicht moeglich ist, ohne neue Wege einzuschlagen, duerften empirische Ergebnisse ueber den maessigen Erfolg des traditionellen Mathematikunterrichts auch erwiesen haben.