249103 Zufällige Schrödinger-Operatoren (V) (WiSe 2005/2006)

Die Vorlesung beschäftigt sich mit einem modernen Teilgebiet der mathematischen Physik, welches am Schnittpunkt von Funktionalanalysis und Wahrscheinlichkeitstheorie angesiedelt ist. Es werden Spektraleigenschaften von zufälligen linearen Operatoren der Form H= -\Delta +V im Hilbert-Raum der quadrat-integrablen Funktionen über R^d untersucht. Dabei steht \Delta für den Laplace-Operator und V bezeichnet einen zufälligen Multiplikationsoperator, der bzgl. der Translationsgruppe ergodisch ist. Derartige Operatoren haben nicht nur mathematisch interessante Eigenschaften, wie z.B. ein dichtes Punktspektrum, sie spielen auch eine wichtige Rolle in der Theoretischen Physik in Hinblick auf elektronische Eigenschaften von ungeordneten Materialien, zu denen unter anderen dotierte Halbleiter zählen. Geplante Themen:

1) Grundlegende ergodische Eigenschaften: Nicht-Zufälligkeit des Spektrums
2) Existenz und Regularität der Integrierten Zustandsdichte
3) Lifshits-Ausläufer und große Abweichungen
4) Anderson-Lokalisierung und Dynamik

Voraussetzungen: Grundkenntisse der Wahrscheinlichkeitstheorie,
Funktionalanalysis und Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren.