240032 Proseminar Fourierreihen und Fouriertransformation (PS) (WiSe 2013/2014)

Mittels einer Fourierreihe versucht man eine Darstellung einer periodischen Funktion durch Funktionen des Typs sin kx und cos kx zu finden. Die Fragestellung, ob und in welcher Weise dies gelingt, hat sich sich als überaus fruchtbar für das Gebiet der Analysis erwiesen. Im Proseminar werden wir grundlegende Aussagen zum Konvergenzverhalten der Fourierreihen erarbeiten.
Anschließend wenden wir uns der Fourier-Transfromation zu. Sie stellt das kontinuierliche Analogon zu den Fourierreihen dar, insoweit die Summen der Fourierreihen durch ein Integral ersetzt werden. Sie hat zahlreiche wichtige Anwendungen in der Mathematik (partielle Differentialgleichungen) und Physik (Quantenmechanik), ihre diskretisierten Varianten spielen eine zentrale Rolle in vielen Datenkompressionsverfahren.

Es sind folgende Vortragthemen geplant, die grundsätzlich konsekutiv aufeinander aufbauen (Literaturangaben s.u.):

1. Fourierreihen: Grundlegendes, Fourierkoeffizienten, [[1]] 7.1. bis S. 411 Mitte
2. Fourierreihen: Komplexe Schreibweise und Sagezahnwelle, [[1]] 7.1 S.411 Mitte bis S.416 unten
3. Fourierreihen: Zickzackwelle und quadratische Konvergenz, [[1]] 7.1 H. - K. und 7.2 A. - C.
4. Fourierreihen: Orthogonalentwicklung, [[1]] 7.2 C. - H.
5. Fourierreihen: Gleichmäßige und punktweise Konvergenz, Dirichlet-Integral, [[1]] 7.2 S. 429 Miite bis 4.33 oben, 7.3 bis S.417 oben
6. Fourierreihen: Punktweise Konvergenz, Kriterium von Dini, [[1]] 7.3 A. - F.
7. Fourierreihen: Punktweise Konvergenz für differenzierbare und monotone Funktionen [[1]] 7.3. G.- P
8. Fourierreihen: Gleichmäßige Konvergenz für monotone Funktionen, [[1]] 7.4 A. - F.
9. Fourierreihen: Gibbs-Phänomen und Approximationssatz von Weierstraß, [[1]] 7.4 Gibbs-Ph. und 7.5. A. - C.
10.Fouriertransformation: Definition und grundlegende Eigenschaften, [[2]]3.-4.
11.Fouriertransformation: Inversion der Fourier-Transformation [[2]] 5.
12.Fouriertransformation: Inversion mittels Cesaro-Summierbarkeit, [[2]] 6.
13.Fouriertransformation: Fourier-Transformation auf L^1 \cap L^2 [[2]] 12.
14.Fouriertransformation: Die Parseval-Relation, [[2]] 13 A.-E.
15.Fouriertransformation: Inversion in L^2, [[2]] 13 F.-J

Die Vorbesprechung des Proseminars findet am Freitag, den 19.07.2013, um 14:00 Uhr im Raum V3-106 statt, die erste reguläre Sitzung am 31.10.2013

Teilnahmevoraussetzungen, notwendige Vorkenntnisse

Analysis 1, evtl. nötige Kenntnisse in Intergrationtheorie (nach Lebesgue) werden im Seminar vermittelt.

Literaturangaben

Fourierreihen:
[[1]] Rolf Walter: Einführung in die Analysis 3, Kap. 7, de Gruyter 2009
Fourier-Transformation.
[[2]] Richard Goldberg: Fourier transforms, Cambridge University Press 1970