240162 Seminar AG Dynamische Systeme (S) (SoSe 2007)

In diesem Semester dient das auf 4 SWS erweiterte Seminar dazu, interessierten Studierenden aus den Studiengängen Diplom/Master Mathematik, Master of Education Mathematik und Diplom/Master Wirtschaftsmathematik eine breit angelegte Einführung in die numerische Behandlung dynamischer Systeme zu vermitteln. Sie kann sowohl zur Spezialisierung in Numerischer Mathematik als auch für die Vorbereitung oder Begleitung von Examensarbeiten genutzt werden. Das Seminar wird getragen durch entsprechende Vorträge aus der AG Numerik dynamischer Systeme. Bei Bedarf können aber auch Vorträge von Studierenden eingebunden werden; dazu gibt es eine Vorbesprechung in der ersten Veranstaltung am 2.4.2007.
Es ist geplant im WS 2007/08 als Fortsetzung eine Vorlesung mit dem Titel 'Numerik von Evolutionsgleichungen, insbes. zeitabhängigen partiellen Differentialgleichungen' anzubieten.
Vorausgesetzt werden Grundkenntnisse aus Vorlesungen zur Numerischen Mathematik I und II sowie über gewöhnliche Differentialgleichungen.
In der Theorie dynamischer Systeme versucht man das Langzeitverhalten der Lösungen von Evolutionsgleichungen zu beschreiben, wobei die Zeit entweder kontinuierlich in den reellen Zahlen oder aber diskret in den ganzen Zahlen abläuft. Im zeitkontinuierlichen Fall handelt es sich um gewöhnliche autonome Differentialgleichungen und im zeitdiskreten Fall um Iterationen nichtlinearer Abbildungen eines endlich dimensionalen Raums. Berücksichtigt man unendlich dimensionale Phasenräume, so kann man auch das Langzeitverhalten zeitabhängiger partieller Differentialgleichungen, z. B. vom parabolischen oder hyperbolischen Typus einordnen.
Zunächst werden allgemeine Grundbegriffe aus der Theorie dynamischer Systeme auf metrischen Räumen dargestellt (Stetigkeit, Gleichgewicht, periodischer Orbit, invariante Menge, Limesmenge, asymptotische Stabilität, Attraktor) und ihre Beziehungen diskutiert. Im nächsten Schritt wird für den endlich dimensionalen Fall analysiert, welchen Einfluss die numerische Diskretisierung der Zeit, d. h. der Übergang von einem zeitkontinuierlichen zu einem zeitdiskreten System, auf das Langzeitverhalten der Orbits hat (Exponentielle Dichotomien und Störungssätze, das 'Shadowing' Prinzip, Attraktorapproximation). Auch werden Methoden besprochen, die für das Langzeitverhalten entscheidenden Limesmengen (Gleichgewichte, periodische Orbits, Attraktoren) direkt durch Lösung geeigneter Gleichungssysteme zu bestimmen.

Im letzten Teil werden systematisch räumliche Diskretisierungen von elliptischen Differentialgleichungen unter Randbedingungen mit der Finiten-Elemente- bzw. der Finite-Differenzen-Methode besprochen. Insbesondere wird auf die numerische Lösung der entstehenden großen Gleichungssysteme sowie auf die Stabilität und Konvergenz der Verfahren
eingegangen. Elliptische Randwertaufgaben treten u. a. auf bei der Bestimmung von Gleichgewichten zeitabhängiger partieller Differentialgleichungen und können als Approximation eines unendlich-dimensionalen Phasenraums durch einen endlich-dimensionalen interpretiert werden. In der geplanten Fortsetzungvorlesung werden dann Evolutionsgleichungen behandelt, deren numerische Lösung sowohl räumliche wie zeitliche Diskretisierungen erfordern.