240027 Elliptische Funktionen (V) (SoSe 2022)

Beschreibt man die Koordinaten eines Punktes auf einer Ellipse als Funktion der Bogenlänge oder die Auslenkung eines Pendels als Funktion der Zeit, so benötigt man elliptische Funktionen. Diese setzen sich zu doppelt periodischen Funktionen auf der komplexen Ebene fort, deren Perioden sich als arithmetisch-geomtrisches Mittel berechnen lassen. Sie verallgemeinern die trigonometrischen Funktionen und verfügen ebenso wie diese über Additionstheoreme.

Sie hängen eng mit Thetafunktionen zusammen, die man als erzeugende Funktionen für die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl durch eine quadratische Form betrachten kann. Mit ihrer Hilfe kann man man auch eine Rekursionsformel für die Anzahl der Partitionen einer natürlichen Zahl beweisen.

Die Integranden der elliptischen Integrale lassen sich nicht auf die komplexe Ebene fortsetzen, sondern auf Riemannsche Flächen, die man elliptische Kurven nennt. Den erwähnten Additionstheoremen liegt eine Gruppenstruktur auf diesen Kurven zu Grunde. Ergebnisse von Gauß über die Konstruktion regelmäßiger Vielecke verallgemeinern sich auf die Teilung von Ellipsen in Teile gleicher Bogenlänge.

Die hier behandelten Sachverhalte liegen am Ursprung weitreichender Entwicklungen in der algebraischen Geometrie und Zahlentheorie.

Literaturangaben

• V. Prasolov, Y. Solovyev, Elliptic Functions and Elliptic Integrals, American Mathematical Society 1997, QA285 D5G3M
• C. L. Siegel, Topics in Complex Function Theory, vol. I, insbes. Kapitel 1, Wiley-Interscience 1969, QA810 S571
• D. F. Lawden, Elliptic functions and applications, Springer 1989, QA870 L416
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions, Springer 1985, QA870 C456
• G. A. Jones, D. Singerman, Complex Functions, insbes. Kapitel 3, Cambridge Univ. Press 1987, QA810 J77
• E. Whittaker, G. N. Watson, A course of modern analysis, insbes. Kapitel XX, XXII, Cambridge Univ. Press 1965, QA710 W624