242123 Modulraeume komplexer Vektorbuendel (V) (WiSe 2006/2007)

Die Vorlesung startet bei der naiven Frage wieviele holomorphe Vektorbuendel vom Rang r>0 es auf einer gegebenen komplexen Mannigfaltigkeit M gibt. Ganz in Riemanns Geist wird dabei folgendes Konzept verfolgt:
(1) Klaeren, wieviele glatte Vektorbuendel es auf M gibt.
(2) Zu jedem glatten Vektorbuendel E den ``Modulraum'' der holomorphen Strukturen auf E konstruieren.

Zu (1):
Isomorphieklassen glatter Vektorbuendel vom Rang r auf M entsprechen Homotopieklassen von glatten Abbildungen von M in einen Klassifizierenden Raum G(r,M), den man durch eine Grassmann-Konstruktion erhaelt. Homotopieklassen sind fast nie explizit berechenbar. Daher geht die Vorlesung hauptsaechlich um eine vereinfachte Version von (2): die Konstruktion des Modulraums von ``einfachen'' bzw. ``stabilen'' holomorphen Strukturen auf einem glatten Vektorbuendel E. Mit Hilfe von Deformationstheorie wird bewiesen, dass dieser Modulraum W immer die Struktur eines komplexen Raums (Mannigfaltigkeit mit Selbstueberschneidungen) hat und in einem schwachen Sinn den mengenwertigen Funktor F mit F(S):=(Isoklassen von Rang-r-Vektorbuendeln auf S x M) darstellt.

Als Anwendung wird erlaeutert, dass sich fuer eine Kaehlersche Flaeche M die Donaldson-Invarianten von E als Modulraum der stabilen holomorphen Strukturen auf E berechnen laesst. Die Donoldson-Invariante eines Vektorbuendels auf einer reellen 4-Mannigfaltigkeit ist vulgaersprachlich die Zahl der auf E lebenden Instantone. Instantone sind "antiselbstduale" Zusammenhaenge von E.

Requirements for participation, required level

Vorkenntnisse in Topologie und Differentialgeometrie