242109 Mengentheorie (V) (WiSe 2006/2007)

Die Mengenlehre ist die Basis der Mathematik. Endliche Mengen sind natürlich
ziemlich trivial. Wenn wir jedoch unendliche Mengen betrachten, dann werden
wir oft mit interessanten Problemen und Paradoxen konfrontiert, die dem
``normalen menschlichen Verstand'' widersprechen. Wer denkt darüber nach,
daß sogar in den ersten Wochen der Analysis I Vorlesung ein sehr
wesentlicher Gebrauch des Auswahlaxioms gemacht wird? (Etwa in der Definition
des Begriffs ``Stetigkeit''.)

Wenn wir die reellen Zahlen als Folgen von Ziffern definieren, dann gibt es
überabzählbar viele verschiedene reelle Zahlen. Andererseits gibt es nur
abzählbar viele mögliche Beschreibungen von Dingen mit endlich vielen
Worten. Infolgedessen sind fast alle reelle Zahlen unbeschreibbar, egal wie
viele Worte man bereit ist, darüber zu verschwenden! Sind diese
unbeschreibbaren Zahlen dann überflüssig? Gibt es Modelle der reellen Zahlen
mit nur abzählbar vielen Elementen?

Überhaupt, was ist ein Beweis? Ist die Bedeutung von Gödel's
Unvollständigkeitssatz, daß konkrete Behauptungen in der Mathematik --- etwa
die Riemann'sche Vermutung --- vielleicht gar unbeweisbar sind? Oder ist die
Bedeutung etwas ganz anderes?

In dieser Vorlesung werde ich das Buch ``Set Theory and the Continuum
Hypothesis'' von Paul Cohen zugrunde legen. Sowohl Gödel's
Unvollständigkeitssatz, als auch sein Beweis, daß sowohl das Auswahl Axiom
(AC) als auch die Kontinuum Hypothese (CH) den anderen Axiomen von
Zermelo-Fränkel nicht wiedersprechen, werden behandelt.

Das Wintersemester ist zweifellos zu kurz, um auch Cohen's beweis (daß sowohl
AC als auch CH unabhängig von den anderen Axiomen sind) zu behandeln. Bei
entsprechendem Interesse könnte daher die Vorlesung in dem folgenden
Sommersemester weitergeführt werden.