240088 Elementare Zahlentheorie (V) (WiSe 2004/2005)

Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Zahlentheorie - nach Gauß die "Königin der Mathematik". Viele der berühmten Vermutungen, wie etwa die Goldbach-Vermutung (jede gerade Zahl ist Summe zweier Primzahlen) oder die Primzahlzwillings-Vermutung (es gibt unendlich viele Primzahlen p, für die auch p+ 2 eine Primzahl ist) sind leicht zu formulieren, ihre Beweise jedoch haben Generationen von Mathematikern fasziniert. Auch weniger spekulative Teile der Theorie wie etwa das Rechnen mit Kongruenzen, die Theorie der quadratischen Reste, die Untersuchung von Summen ganzer Quadrate und die Theorie der Verteilung von Primzahlen bieten eine Fülle reizvoller Ergebnisse, deren Formulierung leicht verständlich ist und deren Beweise teils ebenfalls elegant und einfach sind, teils aber überraschend tief liegend (man denke nur an den berühmten Satz von Fermat-Wiles, nach dem die Gleichung x^n+y^n=z^n für natürliche Exponenten n > 2 keine Lösung in ganzen Zahlen mit hat). Anwendungen der Theorie finden sich vor allem in der Kryptographie. Auch zur experimentellen Erkundung von Problemen mit dem Computer gibt das Gebiet zahlreiche Gelegenheiten.
In der Vorlesung soll der übliche Stoff behandelt werden, also Grundlagen der Primzahltheorie, Rechnen mit Kongruenzen, lineare diophantische Gleichungen, die Theorie der quadratischen Reste, Summen ganzer Quadrate, Kettenbrüche. Weitere Themen werden die Public-Key-Kryptographie (RSA-Algorithmus) und Primzahltests (ein erst kürzlich gefundener elementarer Beweis der vermuteten polynomiellen Komplexität der Primzahleigenschaft soll vorgestellt werden) sein.
Die Vorlesung ist ein zentraler Bestandteil des Grundstudiums und für Studenten ab dem zweiten Semester geeignet (die behandelten Fragen werden ohne tieferliegende Methoden aus anderen mathematischen Disziplinen zugänglich sein). Vor allem auch für Lehramtsstudenten ist die Zahlentheorie ein wichtiger Teil der Ausbildung.

Im Anschluss an diese Vorlesung können im Rahmen eines Seminares Abschlussarbeiten (Bachelor/Master) oder auch Diplomarbeiten angefertigt werden.

Teilnahmevoraussetzungen, notwendige Vorkenntnisse

Grundlegende Kenntnisse aus der Vorlesung Lineare Algebra I