240070 Numerik II (V) (WiSe 2004/2005)

Im Mittelpunkt der Vorlesung steht die numerische Loesung von Differentialgleichungen. Zunaechst werden gewoehnliche Differentialgleichungen betrachtet, fuer die man je nach Zusatzbedingungen Anfangswertaufgaben oder Randwertaufgaben betrachtet. Diese beiden Aufgabetypen erfordern auch unterschiedliche numerische Loesungsmethoden.

Anfangswertaufgaben treten typischerweise bei der Modellierung zeitabhaengiger Systeme in den Naturwissenschaften, der Technik oder der Oekonomie auf. Die numerischen Verfahren versuchen dieser Dynamik in diskreten Zeitschritten zu folgenden und dabei den auftretenden Fehler moeglichst gering zu halten. In welchem Sinne und unter welchen Voraussetzungen dieses moeglich ist, wird im Rahmen der sogenannten Konvergenztheorie besprochen.

Randwertaufgaben beschreiben in der Regel zeitlich konstante, aber raeumlich verteile Groessen, z. B. in der Chemie die Konzentrationsverteilung eines Stoffes oder in der Biologie die Dichteverteilung einer Population. Die numerischen Verfahren fuer Randwertaufgaben fuehren auf grosse lineare und nichtlineare Gleichungssysteme. Die hierfuer erforderlichen Loesungstechniken werden ausfuehrlich behandelt.

Im zweiten Teil werden einige Beispiele partieller Differentialgleichungen diskutiert. Auch hier werden --- abhaengig vom Typ --- Anfangs-- oder Randwertprobleme betrachtet. Als numerische Verfahren betrachten wir einfache Finite--Differenzen Methoden fuer die Anfangswertprobleme und die Finite--Elemente Methode fuer Randwertprobleme.

Vorausgesetzt werden Grundkenntnisse aus einer Vorlesung Numerik I. Ein Basiswissen ueber Differentialgleichungen ist nuetzlich, aber keine Vorbedingung. Fuer die erfolgreiche Teilnahme an den praktischen Uebungen sollte man entweder etwas Erfahrung mit einer Programmiersprache oder mit dem System MATLAB haben. Die Vorlesung kann als Teil einer Spezialisierungssequenz in Numerischer Mathematik gewaehlt werden.