241621 Numerik Dynamischer Systeme (V) (SoSe 2004)

In der Theorie dynamischer Systeme versucht man
das Langzeitverhalten ($t \rightarrow \infty$) der L"osungen von
Evolutionsgleichungen zu beschreiben. Im zeitkontinuierlichen Fall hat man
in der Regel eine gew"ohnliche Differentialgleichung
$$\dot{u}(t)= f(u(t)), t\ge 0$$
und im zeitdiskreten Fall eine Differenzengleichung
$$u_{t+1} =F(u_t), t=0,1, \ldots$$
Die L"osungen k"onnen f"ur $t \rightarrow \infty$ konvergieren (d.h. gegen
ein Gleichgewicht streben), oder aber komplizierteres Verhalten zeigen
(periodisch, quasiperiodisch, chaotisch).

In der Vorlesung werden Methoden zur numerischen Berechnung dieses
Verhaltens besprochen. Eine M"oglichkeit besteht darin, die
Zeit in der Differentialgleichung zu diskretisieren
und dann das Langzeitverhalten der numerischen Folgen zu beobachten.
Alternativ kann man direkt die m"oglichen Limesmengen durch L"osung
geeigneter Gleichungssysteme bestimmen.

Besonderes Gewicht wird auf die Behandlung zeitabh"angiger partieller
Differentialgleichungen gelegt, im einfachsten Fall auf die
W"armeleitungsgleichung
$\frac{\partial{u}}{\partial{t}}=\frac{\partial{u}^2}{\partial{x^2}} $.
Sie lassen sich als Evolutionsgleichungen in einem unendlich dimensionalen
Funktionenraum interpretieren.
Es werden die wichtigsten Verfahren zur Diskretisierung des
r"aumlichen Differentialoperators wie Finite Differenzen und Finite
Elemente besprochen. Man erh"alt dann dynamische Systeme sehr hoher
Dimension. F"ur das Langzeitverhalten m"ussen jetzt sehr gro"se, aber
d"unn besetzte Gleichungssysteme gel"ost werden, und in der Theorie
treten neue Stabilit"atsfragen auf, wenn sich die r"aumliche Diskretisierung
verfeinert.

Vorausgesetzt werden Grundkenntnisse in Numerik und in gew"ohnlichen
Differentialgleichungen. Diese Vorlesung kann als Abschluss einer
Spezialisierungssequenz in Numerik gew"ahlt werden.