241711 Geometrie und Analysis (V) (SoSe 2003)

In dieser Vorlesung sollen elliptische Operatoren auf kompakten
Mannigfaltigkeiten behandelt werden, zusammen mit geometrischen
Anwendungsbeispielen. Elliptische Operatoren tauchen in vielen
Teilen der Geometrie auf; die wichtigsten Beispiele sind vielleicht
die nach Cauchy und Riemann, Laplace, sowie Dirac benannten
Operatoren. Die Vorlesung wird mit einem Überblick über der
Theorie der Banach Räume, der
Distributionen, der Fourier Transformation, sowie
der elliptischen Theorie von $L^2$ Sobolev Räumen beginnen.
Danach werden wir das Hodge Theorem diskutieren, das die de Rham
Kohomologie einer geschlossenen Mannigfaltigkeit mit dem Raum
der
harmonischen Differentialformen identifiziert. Weitere klassische
Anwendungen umfassen die Dirichlet und Neumann Randwertprobleme
des
Laplace Operators. Falls genug Zeit bleibt, werden wir auch die
$L^p$ Theorie diskutieren, die in nicht-linearen Problemen wichtig
ist, zum Beispiel in der Eichtheorie und in der Theorie
pseudo-holomorpher Kurven.
Voraussetzungen: Kenntnisse über das Lebesgue Integral,
glatte Mannigfaltigkeiten und Differentialformen.
Literatur:
W. Rudin: Functional Analysis
M. Taylor: Partial Differential Equations (3 Binde)
E. M. Stein: Harmonic Analysis: Real-Variable Methods,
Orthogonality, and Oscillatory Integrals

Externe Kommentarseite

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