241705 Höhere Lineare Algebra (V) (WiSe 2005/2006)

Die Vorlesung schließt an die Veranstaltungen Lineare Algebra I und II an.
Ziel ist es, die Themen der lineare Algebra noch einmal aufzugreifen
und in einen größeren Zusammenhang einzuordnen.
Leider müssen ja in den
Vorlesungen LA I und II viele wichtige Fragestellungen ausgespart bleiben,
zum Beispiel die symplektische Geometrie. Dies soll hier nachgeholt werden.
Das Wechselspiel zwischen Geometrie und (linearer) Algebra soll betont werden,
insbesondere wird auf die Bedeutung der klassischen Geometrien
eingegangen. Zu thematisieren ist, warum diese Geometrien im Rahmen der
Lie-Theorie (wie auch in der analogen Theorie der algebraischen Gruppen)
in vier Klassen, die mit den Buchstaben A,B,C,D bezeichnet werden,
eingeteilt werden; auf die zusätzlichen Ausnahmegeometrien
E6, E7, E8, F4, G2 kann allerdings nur am Rande eingegangen werden.
Insgesamt soll eine Brücke von der linearen Algebra zur Lietheorie
und zur Darstellungstheorie gebaut werden.

Im Vordergrund wird folgende Fragestellung stehen: Gegeben ist eine
Menge S von Endomorphismen eines Vektorraums V. Gesucht sind
S-invariante Unterräume,
vor allem aber S-invariante direkte Zerlegungen des Vektorraums V.
Vorgegeben werden dabei geeignete algebraische Bedingungen an die
Endomorphismen in S, und zwar häufig Kommutator-Bedingungen (man
setzt also voraus, dass sich für f,g in S der Kommutator [f,g] = fg-gf
kontrollieren läßt).

Vorgestellt wird auf diese Weise das, was man die Darstellungstheorie
endlich-dimensionaler halbeinfacher Lie-Algebren nennt. Im
Gegensatz zur üblichen Behandlung werden wir aber die entsprechende
Strukturtheorie dieser Lie-Algebren zurückstellen (manches auch nur streifen)
und gleich mit der eigentlichen Darstellungstheorie beginnen.

Als erstes werden die Grundzüge der Darstellungstheorie der sl_2 behandelt,
hier arbeitet man mit Paaren von Endomorphismen f,g, sodass beide Endomorphismen
mit dem Kommutator [f,g] kommutieren. Dies ist grundlegend für alles Weitere.
Danach beschäftigen wir uns mit den sogenannten Wurzelsystemen und den
zugehörigen Gewichtsgittern. Die Klassifikation der endlichen Wurzelsysteme
spielt in vielen Teilen der Mathematik eine wichtige Rolle. Im Zentrum der
Vorlesungen werden Untersuchungen von Weyl und von Freudenthal (wie etwa
die Weyl'sche Charakterformel) stehen. Natürlich werden auch Fragen der
Strukturtheorie von Lie-Algebren thematisiert.
In Einschüben soll darauf eingegangen werden, welche Rolle die
Lineare Algebra in weiteren Gebieten der Mathematik, wie zum Beispiel
in der Kodierungstheorie spielt.

Weiterführende Veranstaltungen

Wenn Interesse besteht, wird im SS 2006 ein Seminar angeboten, das
die in der Vorlesung behandelten Fragestellungen weiterführt. Im Rahmen
des Seminars können dann auch Themen für Bachelor-Arbeiten vergeben werden.

Requirements for participation, required level

Vorausgesetzt werden solide Kenntnisse in Linearer Algebra (I und II).
Gedacht ist an alle Studenten, denen das Arbeiten mit algebraischen
und geometrischen Strukturen Spaß macht.

Die Teilnahme an den Übungen wird allen Teilnehmern dringend empfohlen.

Bibliography

Als erste Information kann man einzelne Abschnitte im Buch von Fulton-Harris
heranziehen; die
Darstellungstheorie endlich-dimensionaler halbeinfacher Lie-Algebren
wird zum Beispiel im letzten Abschnitt des Standard-Buchs von Humphreys entwickelt.
Auch gibt es einen recht ausführlichen Leitfaden zur entsprechenden Vorlesung
im WS 2000/1, siehe http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/la3/.

Fulton-Harris: Representation Theory. A First Course. Springer Graduate Texts.

Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory.
Springer Graduate Texts.

External comments page

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/la3/