240031 Proseminar Dynamische Systeme und deren Anwendung in den Naturwissenschaften (PS) (WiSe 2023/2024)

Ein dynamisches System beschreibt die zeitliche Entwicklung einer Kenngröße in Abhängigkeit des Anfangszustands in Form von Differentialgleichungen.
Während die Theorie der dynamischen Systeme ihren Anfang in der Entwicklung der Himmelsmechanik hat, ist sie heute in einer Vielzahl von Anwendungen in den Naturwissenschaften wie z.B. Physik, Epidemiologie, Meteorologie, Technik und Ökonomie von Bedeutung.

Ziel des Seminars ist es, die Grundlagen der Theorie der dynamischen Systeme kennenzulernen und diese an ausgewählten Anwendungen zu diskutieren.
Wir werden uns zunächst mit zentralen Fragen wie der Cauchy-Theorie (Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen), Existenz von stationären Zuständen und periodischen Orbits beschäftigen. Insbesondere werden wir deren Stabilität untersuchen, d.h. die Auswirkungen kleiner Veränderungen des Anfangswerts auf das System verstehen.
Anschließend werden wir Parameter abhängige dynamische Systeme betrachten. Änderungen des Parameters können zu relevanten Veränderungen des qualitativen Verhaltens des Systems führen. Diese Verzweigungen werden Bifurkationen genannt.
Abschließend werden wir erste Beispiele chaotischer Systeme kennenlernen.

Die behandelten theoretischen Konzepte werden jeweils anhand von konkreten Modellen aus Epidemiologie sowie Physik entwickelt und vertieft.

Darüberhinaus diskutieren wir Fragen der Modellierung wie der Herleitung und Validierung von Modellen.

Während die zur Verfügung gestellte Literatur in englischer Sprache ist, wird die Vortragssprache deutsch sein.

Teilnahmevoraussetzungen, notwendige Vorkenntnisse

Analysis I und Lineare Algebra I.

Vorkenntnisse aus Analysis II sind hilfreich aber nicht notwendig.

Literaturangaben

Theorie:
Prüss, Wilke: "Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme

Anwendungen u.a.:
Michael Y. Li "An Introduction to Mathematical Modelling of Infectious Diseases"
Maia Martcheva "An Introduction to Mathematical Epidemiology"