240034 Proseminar - Variationsrechnung (PS) (SoSe 2025)

Die Variationsrechnung sucht lokale Extrema von reellwertigen nichtlinearen Funktionalen, deren Definitionsbereich eine offene Teilmenge eines unendlichdimensionalen Vektorraums von Funktionen ist. Das Wort Variation bezeichnet eine Richtungsableitung eines solchen Funktionals, wobei die "Richtung" durch eine Funktion gegeben ist.

Schon 1696 beantwortete Johann I Bernoulli die Frage, welche Gestalt eine reibungsfreie Rutschbahn zwischen zwei gegebenen Punkten haben muss, damit sie in minimaler Zeit durchlaufen wird. Euler und Lagrange fanden heraus, dass die Newtonschen Bewegungsgleichungen nötige Bedingungen sind, damit das Wirkungsfunktional sein Minimum annimmt, und sie verallgemeinerten ihre Methoden auf eine große Klasse von Problemen.

Auf einer Riemannschen bzw. Lorentzschen Mannigfaltigkeit sind die geodätischen Linien genau diejenigen, bei denen die Länge minimal bzw. die Eigenzeit maximal wird. Eine Seifenhaut in einem Rahmen nimmt eine Gestalt von minimalem Flächeninhalt an, die durch das Verschwinden der mittleren Krümmung charakterisiert wird.

Emmy Noether bewies einen Satz, wonach jeder einparametrigen Familie von Symmetrien eines Wirkungsfunktionals eine Erhaltungsgröße entspricht. David Hilbert fand eine variationstheoretische Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie, und er widmete auf dem Mathematikerkongress im Jahre 1900 zwei seiner 23 Probleme der Variationsrechnung. Auch aus der Quantenfeldtheorie sind Wirkungsfunktionale nicht wegzudenken.

Im Proseminar sollen die Grundideen der Variationsrechnung erkundet werden, soweit sie mit den Kenntnissen aus den Grundvorlesungen zugänglich sind.

Literaturangaben

Hansjörg Kielhöfer, Variationsrechnung. Vieweg+Teubner Verlag 2010. QA785 K47 und online