240032 Proseminar Symmetric group: representations and combinatorics (Young-Tableaux und die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe) (PS) (WiSe 2025/2026)

Inhalt

Die symmetrische Gruppe ist die Gruppe aller möglichen Permutationen von endlich vielen Objekten. Sie spielt eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Mathematik und ist ein zentrales Beispiel in der Gruppentheorie, weil endliche Gruppen in ihr „vorkommen“ – also als Untergruppen.

In diesem Proseminar geht es um die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe. Sie ist ein wichtiges Thema in der Algebra und hat viele Verbindungen zur Kombinatorik. Am Anfang behandeln wir die Grundlagen der Darstellungstheorie von Gruppen. Danach konzentrieren wir uns auf die Struktur der symmetrischen Gruppe und darauf, wie ihre Darstellungen klassifiziert werden können. Ein besonderer Teil des Proseminars ist die Kombinatorik der Young-Tableaux. Diese helfen dabei, die irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe zu verstehen. Wir besprechen unter anderem Maschkes Satz, die Frobenius-Reziprozität, Specht-Moduln und den Robinson–Schensted-Algorithmus.

Bewertung

Um das Proseminar zu bestehen, ist der Vortrag am wichtigsten. Wichtig sind auch die aktive Teilnahme und die Abgabe von verständlichen und richtigen Vortragsnotizen (6-12 Seiten).

Sprache

Es ist erwünscht, dass die Vorträge und die Vortragsnotizen auf Englisch gemacht werden (aber keine Pflicht).

Vorträge

Die Vorträge sollen an der Tafel gehalten werden, die besprochenen Themen behandeln und nicht länger als 90 Minuten (mit Fragen) dauern. Die Hauptliteratur ist [1] (das Buch von Sagan).

Gestalten Sie Ihren Vortrag so, dass die anderen Studierenden ihn gut verstehen und mitschreiben können. Beweise sollen möglichst erklärt werden. Falls die Zeit nicht ausreicht, dürfen einzelne Beweise weggelassen werden. Bitte geben Sie Beispiele. Wenn es zu wenig Material für Ihren Vortrag gibt, ergänzen Sie bitte durch Aufgaben aus dem entsprechenden Kapitel oder verwenden Sie zusätzliche Literatur.

Bereiten Sie Ihren Vortrag selbstständig vor. Wenn Sie mathematische Hilfe brauchen, können wir ein Treffen vereinbaren.

Eine Woche vor Ihrem Vortrag führen wir ein kurzes Vorbereitungsgespräch. Am besten treffen wir uns direkt im Anschluss an den vorherigen Vortrag. Bitte senden Sie mir spätestens am Tag vor Ihrem Vortrag Ihre Vortragsnotizen per E-Mail.

Vortragsliste

Lecture 1
Groups and the symmetric group
Reading: Section 1.1 in [1], complemented by the background on groups in Chapter 1 and part of Chapter 12 in [2]

Lecture 2
Groups representations, G-modules and reducibility
Reading: Sections 1.2, 1.3 and 1.4 in [1]

Lecture 3
Maschke's Theorem and Schur's Lemma
Reading: Sections 1.5 and 1.6 in [1]

Lecture 4
Commutant/endomorphism algebras and the definition of group character
Reading: Sections 1.7 and 1.8 (up to and including Proposition 1.8.5) in [1]

Lecture 5
Group characters and their inner product
Reading: Sections 1.8 (after Proposition 1.8.5) and 1.9 in [1]

Lecture 6
Decomposition of the group algebra and Frobenius reciprocity
Reading: Sections 1.10, 1.11 and 1.12 in [1]

Lecture 7
Partitions, tableaux, tabloids and orderings
Reading: Sections 2.1 and 2.2 in [1]

Lecture 8
Specht modules and the submodule theorem
Reading: Sections 2.3 and 2.4 in [1]

Lecture 9
Standard tableaux and a basis for the Specht modules
Reading: Sections 2.5 and 2.6 in [1]

Lecture 10
The branching rule and the decomposition of the permutation modules M^λ
Reading: Sections 2.8 and 2.9 in [1]

Lecture 11
More on the decomposition of the permutation modules M^λ
Reading: Sections 2.10 and 2.11 in [1]

Lecture 12
The Robinson-Schnested algorithm
Reading: Sections 3.1 and 3.2 in [1]

Lecture 13
Properties of the Robinson-Schnested algorithm
Reading: Sections 3.3 and 3.6 in [1]

Lecture 14
The hook formula
Reading: Section 3.10 in [1]

Lecture 15
The determinantal formula and the Murnaghan-Nakayama rule
Reading: Sections 3.11 and 4.10 in [1]

Organisatorisches
Ein erstes Organisationstreffen für das Proseminar findet am 22. August um 10:00 Uhr statt. Die Vortragsthemen werden verteilt und wichtige Informationen besprochen. Wir treffen uns im Büro V5-228. Wer schon vorher einen Vortrag auswählen möchte, kann eine E-Mail an tconde@math.uni-bielefeld.de schreiben.

Teilnahmevoraussetzungen, notwendige Vorkenntnisse

Grundkenntnisse in linearer Algebra sind notwendig. Grundkenntnisse in der Gruppentheorie (z. B. Nebenklassen, Satz von Lagrange, Konjugationsklassen) sind hilfreich, werden jedoch im ersten Vortrag wiederholt.

Literaturangaben

[1] Bruce E. Sagan, The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 203, Springer, 2001.

[2] Gordon James, Martin Liebeck, Representations and Characters of Groups, 2nd ed., Cambridge University Press, 2001.

[3] William Fulton, Young Tableaux: With Applications to Representation Theory and Geometry, London Mathematical Society Student Texts 35, Cambridge University Press, 1997.

[4] Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume 2, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 62, Cambridge University Press, 1999.