240035 Proseminar p-adische Zahlen (PS) (WiSe 2017/2018)

Dieses Proseminar ist eine elementare Einführung in die Theorie der p-adischen Zahlen.

Vorträge:

1. Bewertete Körper: Absolutbetrag, nicht-archimedischer Betrag: § 2.1-2.2 [Go].

2. Der Satz von Ostrowski: Formulieren und beweisen Sie Ostrowskis Satz und die Produktformel: [Go]
Theorem 3.1.3 und Proposition 3.1.4.

3. Vervollständigung: Cauchy-Folgen in Q im Zusammenhang mit Vollständigkeit: [Go] § Problem 71 und
Lemma 3.2.2]. Anschliessend soll der Körper der p-adischen Zahlen Q p eingeführt und dessen Eigenschaften
diskutiert werden: [Go], Theorem 3.2.13.

4. Der Ring Z p der ganzen p-adischen Zahlen: Algebraische Definition als projektive Limes der Ringe Z/p n Z,
elementare Eigenschaften: [Se], Ch. II, § 1.1-2.

5. Eigenschaften des Körper Q p der p-adischen Zahlen: topologische Eigenschaften, Darstellung der Elemente
von Q p als spezielle Cauchy-Folgen: [Go], §3.3.

6. Henselsches Lemma: Formulieren und beweisen Sie das Henselsche Lemma: [Go], § 3.4.1. Diskutieren
Sie auch die Auswendungen, [Go] 3.4.2, 3.4.3, und 3.4.4. Formulieren und beweisen die zweite Version des
Henselschen Lemmas: [Go] 3.4.6.

7. Folgen und Reihen: Konvergenzkriterien, Vertauschung von Reihengliedern, und Eigenschaften: [Go,
Lemma 4.1.1, Corollary 4.1.2, Proposition 4.1.4 und Definition 4.2.1.

8. p-adische Potenzreihen: Konvergenzradius und andere Konvergenzeigenschaften [Go]: Proposition 4.3.1,
Proposition 4.3.2, und Proposition 4.3.3.

9. Funktionen die als p-adische Potenzreihen definiert sind: Fortsetzung von Funktionen und Nullstellen.
Formulieren und beweisen Sie [Go] Proposition 4.4.2. Formulieren und beweisen Sie den Satz von Strassmann:
[Go], Proposition 4.4.6.

10. Einige elementare p-adische Funktionen: Hier sollen der p-adische Logarithmus und die p-adische Expo-
nentialfunktion eingeführt und ihre Eigenschaften untersucht werden: [Go], §4.5.

11. Der Weierstraßscher Vorbereitungssatz: Formulieren und beweisen Sie den Weierstraßschen Vorbere-
itungssatz: [Go], Theorem 6.2.6.

12. Der Satz von Hasse-Minkowski ? : Formulieren und beweisen Sie das Theorem von Hasse-Minkowski: [Se],
Théorème 9, §3.3 oder [Go] Theorem 3.5.2.

Dr.~Jeanine Van Order, jvanorder@math.uni-bielefeld.de

Bibliography

[Go] F. Q. Gouvêa, p-adic Numbers: An Introduction (Second Edition), Springer (1997).

[Se] J.-P. Serre, Cours d’arithmétique, Presses Universitaires de France (1970).

[Ro] A.M. Robert, A Course in p-adic Analysis, Springer GTM 198 (2000).