Modul 24-M-Opt Optimization for Quantitative Economics

In diesem Modul werden die Studierenden in die mathematischen Grundlagen von (i) Konvergenz: Stetigkeit von Funktionen und die unterliegende topologische Struktur metrischer Räume und von (ii) Konvexität und Optimierung sowie deren Anwendung in ökonomischen Modellen eingeführt. Die Studierenden erlernen die Grundlagen der Theorie metrischer Räume und der konvexen Analysis. Dies führt sowohl zu einem tiefen Verständnis als auch zu einem Repertoire an Techniken, mit dessen Hilfe die Studierenden in die Lage versetzt werden, Optimierungsprobleme mit und ohne Nebenbedingungen zu behandeln.

Dieses Modul besteht aus einer Vorlesung mit den folgenden Inhalten:

A. Konvergenz in metrischen Räumen

Metrische Räume, Abstand, normierte Vektorräume, offene und abgeschlossene Mengen, Folgen in metrischen Räumen, Stetigkeit, gleichmäßige Stetigkeit, kompakte Mengen in metrischen Räumen, vollständige Räume, Kontraktionen, endlich-dimensionale Vektorräume. Ergänzend zur Analysis: Frechet-Differenzierbarkeit und der Satz über implizite Funktionen

B. Konvexität und Optimierung

B.1. Konvexität von Mengen und Funktionen. Konvexe Mengen. Beispiele: Budget Mengen, Kugeln, Produktionsmengen. Konvexe und konkave Funktionen, Graphen, Epigraph und Hypograph. quasikonvexe und quasikonkave Funktionen. strikt konvexe und quasi konvexe Funktionen. Charakterisierung konvexer Funktionen mittels der ersten Ableitung.Charakterisierung konvexer Funktionen mittels der zweiten Ableitung, topologische Eigenschaften konvexer Mengen. Projektionen auf abgeschlossene Mengen. Trennungssätze. Orthogonalität und Polarität. Bipolar-Theorem. Farkas Lemma.

B.2. Optimierung unter Nebenbedingungen

B.2.1. Optimierung ohne Nebenbedingungen. Globales und lokales Maximum (Minimum). Notwendige Bedinungen erster Ordnung. Notwendige und hinreichende Bedinungen zweiter Ordnung. Globale Maxima für konkave (konvexe) Funktionen. Beispiele

B.2.2. Optimierung unter Nebenbedingungen. Konvexitätsbedingungen und Slater Bedingung. Kuhn-Tucker Problem in konvexen Programmen (ohne Beweis). Anwendungen des Kuhn-Tucker Theorems in Haushalts- und Prodouktionstheorie. Weitere Beispiele der Anwendung des Kuhn-Tucker Theorems. Lineare Programmierung. Quadratische Programmierung

Literatur:
Simon, C., Blume, L., Mathematics for Economists, (1994) Norton.De La Fuente, A., Mathematical Methods and Models for Economists, 2nd Ed. (2005) Cambridge University Press.

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