240032 Proseminar Quadratische Formen (PS) (SoSe 2022)

Kurzkommentar

Eine quadratische Form über einem Körper K ist ein Polynom der Form q(X_1,...,X_n)=a_1 X_1^2+...+a_n X_n^2, wobei n eine natürliche Zahl und a_1,...,a_n Elemente des Körpers K sind. Deratige Polynome werden schon seit längerer Zeit in der Zahlentheorie studiert. Beispielsweise konnte Lagrange 1748 zeigen, dass sich jede natürliche Zahl n als Summe von vier Quadraten darstellen lässt, sprich dass es natürliche Zahlen n_1, n_2, n_3, n_4 gibt, so dass n=n_1^2+n_2^2+n_3^2+n_4^2 ist.
Das Ziel dieses Proseminars ist es, die Lösbarkeit von Gleichungen der Form q(X_1,...,X_n)=a_1 X_1^2+...+a_n X_n^2=0 für rationale Zahlen a_1,...,a_n zu studieren. Dazu werden wir für eine Primzahl p die p-adischen Zahlen Q_p einführen und den Satz von Hasse-Minkowski kennenlernen. Dieser Satz ist ein Beispiel für eines der fundamentalsten Prinzipen der Zahlentheorie, bei dem man ein Problem über dem (globalen) Körper der rationalen Zahlen auf ein Problem der (lokalen) Körper Q_p zurückführt.
Hauptquelle wird das Buch von Serre, "A course in arithmetic" sein.

Benötigte Vorkenntnisse: Besuch der Vorlesungen Lineare Algebra I und II und Analysis I und II.

Inhalt, Kommentar