240009 Lineare Algebra II (V) (SoSe 2022)

Die Vorlesung Lineare Algebra II ist eine Fortsetzung der Vorlesung Lineare Algebra I. Dort wurden - nach der Einführung von Vektorräumen, Vektoren und Matrizen - lineare Gleichungssysteme studiert. Ein Entscheidungskriterium für ihre Lösbarkeit geht auf Leibniz (1646-1716) zurück und führt zum Begriff der Determinante, den wir in der Linearen Algebra II näher betrachten werden: Die Determinante erhält nun eine geometrische Interpretation als Volumen.

Der Lösungsalgorithmus für lineare Gleichungssysteme, der nach Gauß (1777-1855) benannt ist, kann ebenso aufgefasst werden als Konstruktion einer Normalform linearer Abbildungen bzgl. Äquivalenz. Eine andere Normalform für lineare Abbildungen ist nach Jordan (1838-1922) benannt und wird in der Vorlesung diskutiert. Die Beschreibung der Jordanschen Normalform involviert Eigenwerte und Eigenvektoren.

Ein weiteres Thema ist das Skalarprodukt. Es beschreibt den Winkel zwischen zwei Vektoren. Wir studieren insbesondere orthogonale und unitäre Vektorräume bzw. Abbildungen.

Die Vorlesung behandelt folgende Themen:

Determinanten und lineare Gleichungssysteme, adjungierte Matrizen.
Normalformen äquivalenter Matrizen.
Eigenwerte und Eigenvektoren und das charakteristische Polynom.
Ähnlichkeit von Matrizen und Jordan-Normalform.
Skalarprodukte, Orthogonalität, euklidische und unitäre Vektorräume.
Unitäre und orthogonale Abbildungen.

Literaturangaben

Es gibt zahlreiche Literatur über lineare Algebra. Eine Auswahl bilden die folgenden Bücher. Sie stehen auch in der Universitätsbibliothek zur Verfügung. Die älteren Bücher sind Klassiker, die jüngeren Bücher modernere Abhandlungen in deutscher Sprache. Das Buch von Fischer wird besonders empfohlen.

S. Bosch: Lineare Algebra, Springer, 2003
E. Brieskorn: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Vieweg, 1983
T. Bröcker: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Birkhäuser, 2004
G. Fischer: Lineare Algebra, Vieweg, 2009
P. Gabriel: Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra, Birkhäuser, 1996
F. Lorenz: Lineare Algebra I, Spektrum Akademischer Verlag, 2003
H.J. Kowalsky, G. Michler: Lineare Algebra, de Gruyter, 2003