Modul 24-M-PT-SDY Stochastische Dynamik

Die Studierenden beherrschen weiterführende Konzepte, Resultate und Methoden der Stochastischen Dynamik, d.h.: Sie können sie selbstständig sehr komplexere und ein hohes Maß an fachlichen Kompetenzen erfordernde Beweise in diesem Gebiet führen. Sie können Prinzipien großer Abweichungen
 herleiten, das Langzeitverhalten und Austrittswahrscheinlichkeiten von Diffusionen analysieren und den Einfluss kleiner zufälliger Störungen auf zeitkontinuierliche dynamische Systeme qualifizieren und quantifizieren.

Die Studierenden werden im Bereich Stochastische Dynamik an aktuelle Forschungsfragen herangeführt. Sie können weitere Entwicklungsmöglichkeiten und Forschungsziele erfassen und einschätzen.

Ferner erkennen die Studierenden weiterreichende Zusammenhänge zu bereits erarbeiteten mathematischen Sachverhalten. Sie können die bislang erlernten Kenntnisse und Methoden auf tiefer liegende mathematische Problemfelder übertragen und anwenden. Aufgrund der intensiveren Auseinandersetzung vertiefen die Studierenden auch ihre mathematische Intuition.

Sie werden im Zusammenspiel mit weiteren vertiefenden Modulen fachlich und methodisch in der Lage sein, im Anschluss eigene Forschungsarbeiten, z. B. eine Masterarbeit im Bereich Stochastische Dynamik, zu verfassen.

In den Übungen bauen die Studierenden ihre Fähigkeit zur fachmathematischen Diskussion aus und bereiten sich so weiter auf die Anforderungen des Mastermoduls, insbesondere auf die fachliche Diskussion im Rahmen des Masterseminarvortrags und die Verteidigung ihrer Masterarbeit, vor.

Die folgenden weiterführenden Lehrinhalte aus dem Bereich Stochastische Dynamik sind obligatorisch:

• Grundlagen der allgemeinen Theorie großer Abweichungen: einfache Beispiele, Prinzip großer Abweichungen, Ratenfunktion, Kontraktionsprinzip
• Prinzip großer Abweichungen für die skalierte Brownsche Bewegung (Satz von Schilder)
• Prinzip großer Abweichungen für Lösungen stochastischer Differentialgleichungen
• Problem des Austritts einer Diffusion aus einer Menge

Darüber hinaus können z.B. die folgenden Lehrinhalte behandelt werden:

• potentialtheoretischer Zugang zu Kramers Gesetz
• Analyse zufällig gestörter Mehrskalensysteme: Mittlungsprinzip
• Analyse zufällig gestörter Mehrskalensysteme: Reduktion auf langsame Mannigfaltigkeiten der deterministische Dynamik
• Analyse der stochastischen Dynamik bei Vorliegen von Bifurkationen

Dieses Modul bereitet inhaltlich eine Masterarbeit vor.

Die Kompetenzen aus 24-M-PT-PT2 werden erwartet.
Kenntnisse der Grundlagen deterministischer dynamischer Systeme sind angeraten

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