Module 24-B-MG1 Foundations of Mathematics 1

Faculty

Person responsible for module

Regular cycle (beginning)

Every semester

Credit points and duration

15 Credit points

For information on the duration of the modul, refer to the courses of study in which the module is used.

Competencies

Die Studierenden können die Grundtechniken mathematischen Arbeitens (Logisches Schließen, Fachnotationen, usw.) auf der Basis eines entwickelten Grundverständnisses der fachmathematischen Begriffe anwenden. Sie können im Rahmen der Lehrinhalte des Moduls mathematische Sachverhalte erfassen und fachlich präzise beschreiben sowie fachliche Probleme mit den vermittelten Methoden der Linearen Algebra und Analysis lösen. Dazu entwickeln sie das Verständnis für die grundlegenden Prinzipien der Analysis sowie der Linearen Algebra und üben die mathematische Arbeitsweise sowie die Grundbegriffe und -techniken der beiden Gebiete anhand konkreter Fragestellungen der eindimensionalen Analysis sowie zu Vektorräumen und linearen Abbildungen ein. Darüber hinaus entwickeln sie mathematische Intuition sowie das Verständnis für die analytische und algebraischer Behandlung geometrisch motivierter Problemstellungen sowie die Darstellung linearer Abbildung mithilfe von Matrizen. Entsprechend sind sie schließlich in der Lage, eigenständig Beweise der eindimensionalen Analysis und den Grundlagen der Linearen Algebra zu führen. Sie können mathematische Inhalte angemessen sowohl mündlich als auch schriftlich präsentieren und über sie fachlich diskutieren.

Content of teaching

Einführung in das mathematische Arbeiten:

  • Einführung der mathematischen Formalsprache
  • Mengen, Teilmengen, Vereinigung und Durchschnitt von Mengen, Komplementmenge, Differenzmenge, Cartesisches Produkt
  • Mathematische Logik: Wahrheitstafeln, Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation, Äquivalenz, Sätze der Aussagenlogik
  • Beweise: Direkter und Indirekter Beweis, Kontraposition, Beweisprinzip der vollständigen Induktion
  • Beweisstrategien: Wie findet man einen Beweis?
  • Relationen, Ordnungsrelationen, Äquivalenzrelationen
  • Abbildungen, Komposition von Abbildungen, Familien
  • Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
  • Summen- und Produktschreibweise
  • Betrag, Ungleichungen, binomische Formeln, Folgen

Analysis 1:

  • Reelle und Komplexe Zahlen
  • Folgen und Reihen, Grenzwerte, Konvergenzkriterien
  • Exponentialfunktion, Trigonometrische Funktionen,
  • Stetigkeit, Zwischenwertsatz, stetige Funktionen auf kompakten Intervallen
  • Differentiation, Mittelwertsatz, Lokale Extrema
  • Funktionenfolgen und -reihen

Lineare Algebra 1:

  • Grundbegriffe: Gruppen, Ringe, Körper, Polynome.
  • Vektorräume: Lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension, Koordinaten, Summen und Schnitte von Vektorräumen.
  • Lineare Abbildungen: Kern-Bild-Satz, Räume linearer Abbildungen, Dualraum und duale Abbildung, Rang.
  • Matrizen: Darstellungsmatrizen, Matrixalgebra, Äquivalenz und Ähnlichkeit von Matrizen, Basiswechsel.
  • Lineare Gleichungssysteme: Gaußscher Algorithmus, Lösungstheorie.
  • Determinanten: Existenz und Eigenschaften, Multiplikationssatz
  • Multilineare Algebra

Recommended previous knowledge

Necessary requirements

Explanation regarding the elements of the module

Jeweils ein Portfolio zur Analysis 1 (Vorlesung und Übungen) und Lineare Algebra 1 (Vorlesung und Übungen). Die beiden Portfolios dienen zu einer frühzeitigen Leistungsrückmeldung für den jeweiligen thematischen Bereich mit den unterschiedlichen Methoden und somit den Studierenden als Orientierungshilfe für ein erfolgreiches Studium.

Für das erfolgreiches Absolvieren der beiden Prüfungsportfolios des Moduls sind weitere Studienaktivitäten vorgesehen, die im Rahmen des Selbststudiums eigenverantwortlich durchgeführt werden sollten:

  • Mitarbeit in dem Tutorium zur Einführung in das mathematische Arbeiten.
  • die Nachbereitung der Hausübungsaufgaben, z.B. durch das Nacharbeiten der Lösungen mit Unterstützung der Großübungen und der Korrektur der eigenen Lösungsansätze.

Module structure: 2 uPr 1

Courses

Analysis 1
Type lecture
Regular cycle WiSe&SoSe
Workload5 60 h (52 + 8)
LP 2 [Pr]
Einführung in das mathematische Arbeiten
Type lecture
Regular cycle WiSe&SoSe
Workload5 15 h (15 + 0)
LP 0.5
Großübung zur Analysis 1
Type guided self-study
Regular cycle WiSe&SoSe
Workload5 30 h (12 + 18)
LP 1

Es findet alle 14 Tage ab der 3. Woche der Vorlesungszeit eine Großübungsveranstaltung zur Vorstellung der Lösungen der Hausübungen statt.

Großübung zur Linearen Algebra 1
Type guided self-study
Regular cycle WiSe&SoSe
Workload5 30 h (12 + 18)
LP 1

Es findet alle 14 Tage ab der 3. Woche der Vorlesungszeit eine Großübungsveranstaltung zur Vorstellung der Lösungen der Hausübungen statt.

Lineare Algebra 1
Type lecture
Regular cycle WiSe&SoSe
Workload5 60 h (52 + 8)
LP 2 [Pr]
Tutorium zur Analysis 1
Type exercise
Regular cycle WiSe&SoSe
Workload5 60 h (26 + 34)
LP 2

Das Selbststudium dient auch der Nachbereitung der Vorlesung Analysis 1.

Tutorium zur Einführung in das mathematische Arbeiten
Type exercise
Regular cycle WiSe&SoSe
Workload5 15 h (8 + 7)
LP 0.5
Tutorium zur Linearen Algebra 1
Type exercise
Regular cycle WiSe&SoSe
Workload5 60 h (26 + 34)
LP 2

Das Selbststudium dient auch der Nachbereitung der Vorlesung Lineare Algebra 1.


Examinations

e-portfolio with final oral examination o. e-portfolio with final written examination o. portfolio with final oral examination o. portfolio with final written examination
Allocated examiner Teaching staff of the course Analysis 1 (lecture)
Weighting without grades
Workload 60h
LP2 2

Das Portfolio bezieht sich auf die Übungsaufgaben (Haus- und Präsenzübungsaufgaben) zu der Veranstaltung Analysis 1 und enthält eine Abschlussprüfung. Die Übungsaufgaben werden veranstaltungsbegleitend sowohl als Präsenzaufgaben in der Regel wöchentlich als auch als Hausübungsaufgaben in der Regel 14-tägig gestellt. Sie ergänzen und vertiefen den Inhalt der Vorlesung. Die Präsenzübungsaufgaben werden in den Tutorien bearbeitet. Die Lösungen der Hausübungsaufgaben werden abgegeben und bewertet. Die Lösung der Hausübungsaufgaben wird für das Selbststudium bereitgestellt und in der Großübung besprochen. Die Abschlussprüfung erfolgt in Form einer Abschlussklausur von in der Regel 90 min oder einer mündlichen Abschlussprüfung von in der Regel 30 min.
Im Portfolio ist folgende Leistung zu erbringen:
- Regelmäßiges Bearbeiten der Präsenzübungsaufgaben zur Analysis 1 jeweils mit erkennbarem Lösungsansatz sowie die Mitarbeit in den Tutorien zur Analysis 1. Zu der Mitarbeit im Tutorium gehört in der Regel das zweimalige Vorrechnen von Präsenzübungsaufgaben nach Aufforderung sowie regelmäßige Beiträge zur fachlichen Diskussion in dem Tutorium, etwa in Form von fachlichen Kommentaren und Fragen zu den vorgestellten Lösungsvorschlägen.
- Nachweis einer erfolgreichen Teilnahme am Übungsbetrieb zu der Veranstaltung Analysis 1: Für diesen Nachweis zieht man den Anteil der sinnvoll bearbeiteten Präsenzübungsaufgaben an allen gestellten Präsenzübungsaufgaben und den Anteil der Punkte für korrekt gelöste Hausübungsaufgaben an allen erzielbaren Punkten für Hausübungsaufgaben heran. Das arithmetische Mittel dieser beiden Anteile muss über 50 % liegen.
- Bestehen der Abschlussprüfung. Die Abschlussprüfung bezieht sich auf den Inhalt der Vorlesung Analysis 1 und den zugehörigen Übungsaufgaben.
Die Gesamtbewertung des Prüfungsportfolios erfolgt abschließend durch die*den Lehrenden der Vorlesung.

Eine elektronische Klausur auf Distanz ist als Abschlussprüfung nicht gestattet.

e-portfolio with final oral examination o. e-portfolio with final written examination o. portfolio with final oral examination o. portfolio with final written examination
Allocated examiner Teaching staff of the course Lineare Algebra 1 (lecture)
Weighting without grades
Workload 60h
LP2 2

Das Portfolio bezieht sich auf die Übungsaufgaben (Haus- und Präsenzübungsaufgaben) zu der Veranstaltung Lineare Algebra 1 und enthält eine Abschlussprüfung. Die Übungsaufgaben werden veranstaltungsbegleitend sowohl als Präsenzaufgaben in der Regel wöchentlich als auch als Hausübungsaufgaben in der Regel 14-tägig gestellt. Sie ergänzen und vertiefen den Inhalt der Vorlesung. Die Präsenzübungsaufgaben werden in den Tutorien bearbeitet. Die Lösungen der Hausübungsaufgaben werden abgegeben und bewertet. Die Lösung der Hausübungsaufgaben wird für das Selbststudium bereitgestellt und in der Großübung besprochen. Die Abschlussprüfung erfolgt in Form einer Abschlussklausur von in der Regel 90 min oder einer mündlichen Abschlussprüfung von in der Regel 30 min.
Im Portfolio ist folgende Leistung zu erbringen:
- Regelmäßiges Bearbeiten der Präsenzübungsaufgaben zur Lineare Algebra 1 jeweils mit erkennbarem Lösungsansatz sowie die Mitarbeit in den Tutorien zur Linearen Algebra 1. Zu der Mitarbeit im Tutorium gehört in der Regel das zweimalige Vorrechnen von Präsenzübungsaufgaben nach Aufforderung sowie regelmäßige Beiträge zur fachlichen Diskussion in dem Tutorium, etwa in Form von fachlichen Kommentaren und Fragen zu den vorgestellten Lösungsvorschlägen.
- Nachweis einer erfolgreichen Teilnahme am Übungsbetrieb zu der Veranstaltung Lineare Algebra 1: Für diesen Nachweis zieht man den Anteil der sinnvoll bearbeiteten Präsenzübungsaufgaben an allen gestellten Präsenzübungsaufgaben und den Anteil der Punkte für korrekt gelöste Hausübungsaufgaben an allen erzielbaren Punkten für Hausübungsaufgaben heran. Das arithmetische Mittel dieser beiden Anteile muss über 50 % liegen.
- Bestehen der Abschlussprüfung. Die Abschlussprüfung bezieht sich auf den Inhalt der Vorlesung Lineare Algebra 1 und den zugehörigen Übungsaufgaben.
Die Gesamtbewertung des Prüfungsportfolios erfolgt abschließend durch die*den Lehrenden der Vorlesung.

Eine elektronische Klausur auf Distanz ist als Abschlussprüfung nicht gestattet.

The module is used in these degree programmes:

Degree programme Version Recom­mended start 3 Duration Manda­tory option 4
Extension subject / Bachelor Erweiterungsfach [Prüfungsordnung vom 21.03.2023 mit Änderungen vom 30.11.2023 und 26.04.2024] Mathematics (Subject-specific Regulations from 2025): Extension subject Bachelor Minor Subject (Advanced Secondary and Comprehensive Schools ('Gymnasium' and 'Gesamtschule')) 1. two semesters Obli­gation
Mathematics / Bachelor of Science [FsB vom 28.02.2025] Major Subject (Academic) 1. one semester Obli­gation
Mathematics / Bachelor [FsB vom 28.02.2025] Minor Subject (Academic), 60 CPs 1. two semesters Obli­gation
Mathematics / Bachelor of Science [FsB vom 28.02.2025] Major Subject (Advanced Secondary and Comprehensive Schools ('Gymnasium' and 'Gesamtschule')) 1. one semester Obli­gation
Mathematics / Bachelor [FsB vom 28.02.2025] Minor Subject (Advanced Secondary and Comprehensive Schools ('Gymnasium' and 'Gesamtschule')) 1. two semesters Obli­gation
Mathematical Economics / Bachelor of Science [FsB vom 28.02.2025 mit Berichtigung vom 30.04.2025] Bachelor with One Core Subject (Academic) 1. one semester Obli­gation

Automatic check for completeness

The system can perform an automatic check for completeness for this module.


Legend

1
The module structure displays the required number of study requirements and examinations.
2
LP is the short form for credit points.
3
The figures in this column are the specialist semesters in which it is recommended to start the module. Depending on the individual study schedule, entirely different courses of study are possible and advisable.
4
Explanations on mandatory option: "Obligation" means: This module is mandatory for the course of the studies; "Optional obligation" means: This module belongs to a number of modules available for selection under certain circumstances. This is more precisely regulated by the "Subject-related regulations" (see navigation).
5
Workload (contact time + self-study)
SoSe
Summer semester
WiSe
Winter semester
SL
Study requirement
Pr
Examination
bPr
Number of examinations with grades
uPr
Number of examinations without grades
This academic achievement can be reported and recognised.