Module 24-B-HA_ver1 Advanced Analysis

Das Modul führt in Konzepte und Methoden der Funktionentheorie und der Funktionalanalysis ein. Die Studierenden entwickeln das Verständnis für die grundlegenden Prinzipien der Funktionentheorie und der Funktionalanalysis und können mathematische Beweise in diesem Gebiet eigenständig führen. Sie erlernen den Umgang mit analytischen Grundbegriffen und erwerben Kenntnisse und Kompetenzen, die in vielen Feldern der Mathematik, wie z.B. der Zahlentheorie, der Analysis, der Wahrscheinlichkeitstheorie oder auch der Mathematischen Statistik benötigt werden. Sie sind sicher in der Anwendung der grundlegenden Methoden der Funktionentheorie und der Funktionalanalysis und können diese auf neue Problemstellungen in verschiedenen Bereichen erfolgreich übertragen.

Den Kompetenzerwerb in den Techniken der Funktionentheorie und der Funktionalanalysis, die Fähigkeit zur Anwendung der Methoden, die Präsentations- und Kommunikationsfähigkeit sowie Ausdauer als mathematische Grundkompetenz weisen die Studierenden in den Übungen nach. Das Verständnis der Zusammenhänge und Begriffe sowie die Sicherheit in der Anwendung der Methoden auch in neuen Problemstellungen wird in der Abschlussprüfung nachgewiesen.

The module introduces the concepts and methods of complex analyis and functional analysis. Students develop an understanding of the fundamental principles of complex analysis and functional analysis and are able to carry out mathematical proofs in this area independently. They learn how to deal with basic analytical concepts and acquire the knowledge and skills required in many fields of mathematics, such as number theory, analysis, probability theory and mathematical statistics. They are confident in applying the basic methods of complex analysis and functional analysis and can successfully transfer these to new problems in various fields.

In the tutorials, students demonstrate the acquisition of skills in the technologies of complex analysis and functional analysis, the ability to apply the methods, presentation and communication skills and perseverance as a basic mathematical competence. Understanding of the relationships and concepts as well as confidence in applying the methods to new problems is demonstrated in the final exam.

1. Funktionentheorie: Holomorphe Funktionen, Cauchyscher Integralsatz, Cauchysche Integralformel, Potenzreihenentwicklungssatz, Singularitäten, Residuenkalkül
2. Funktionalanalysis: Banach- und Hilberträume,Satz von Hahn-Banach mit Anwendungen, stetige lineare Operatoren, Sätze vom Baireschen Typ, Dualität, Konvergenzbegriffe, Satz von Hilbert-Schmidt, Spektraltheorie

(optional und verbindend: Fourier-Analysis)

1. complex analysis: holomorphic functions, Cauchy's integral theorem, Cauchy's integral formula, power series expansion theorem, singularities, calculus of residues
2. functional analysis: Banach and Hilbert spaces, Hahn-Banach theorem with applications, continuous linear operators, Baire type theorems, duality, notions of convergence, Hilbert-Schmidt theorem, spectral theory

(optional and connecting: Fourier analysis)

Kompentenzen in Analysis und Linearer Algebra (vgl. 24-B-MG1 und 24-B-MG2 oder 24-B-AN und 24-B-LA) sowie in Maß- und Integrationstheorie (vgl. 24-B-AN3 oder 24-B-MI)

Competencies in analysis and linear algebra (cf. 24-B-MG1 and 24-B-MG2 or 24-B-AN and 24-B-LA) as well as in measure and integration theory (cf. 24-B-AN3 or 24-B-MI)

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