241042 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten (V) (WiSe 2014/2015)

Kurzbeschreibung: Mannigfaltigkeiten sind Räume, die lokal so ‘aussehen’ wie der R^n und oft entstehen als Lösungsmenge einer Gleichung, zum Beispiel x^2+y^2+z^2=1 (die Sphäre). Mannigfaltigkeiten sind in vielen verschiedenen Gebieten von Bedeutung: als Lie-Gruppen in der Algebra und Geometrie, als Raum-Zeit in der Relativitätstheorie, als Phasenräume und Energieflächen in der Mechanik etc.

In diesen Vorlesungen sollen die grundlegenden Begriffe und Verfahren der Geometrie und Topologie der Mannigfaltigkeiten behandelt werden. Einige typische Fragestellungen, die im Rahmen der Vorlesungen behandelt werden, beinhalten die Folgende:

- Wann ist die Lösungsmenge f(x)=0 eine Mannigfaltigkeit, wobei f: R^n->R^k eine stetig differenzierbare Abbildung ist?
- Wann sind zwei Mannigfaltigkeiten (z.B. wie oben) äquivalent?
- Wie kann man Abstände auf Mannigfaltigkeiten messen?

Teilnahmevoraussetzungen, notwendige Vorkenntnisse

Analysis II, Lineare Algebra II