240165 Nichtautonome Dynamik (V) (WiSe 2014/2015)

Die Modellierung eines (biologischen) Systems erfolgt
häufig mit Hilfe einer Abbildung, die die Veränderung
in einem Zeitschritt beschreibt.
Die wiederholte Anwendung
x -> f(x) -> f(f(x)) ...
liefert dann den zeitlichen Verlauf des Systems;
formal liegt ein dynamisches System vor.
Eine Alternative zu diesem Ansatz liegt in der
Verwendung von Differentialgleichungen.

Das Langzeitverhalten ist zum Verständnis der
zugrunde liegenden Dynamik von entscheidender Bedeutung
(Aussterben versus Koexistenz in Populationsmodellen).
Bei der zugehörigen Analyse spielen anziehende Objekte
- im einfachsten Fall: Fixpunkte - eine entscheidende
Rolle. Aber wie kann man einem Fixpunkt ansehen, dass
er anziehend ist? Diese Frage beantwortet der berühmte
Satz von Lyapunov, der am Anfang der Vorlesung vorgestellt
wird.

In vielen Anwendungen verändert sich das Modell mit
der Zeit, um beispielsweise saisonale Schwankungen
zu erfassen. Solche nichtautonomen Systeme stehen
im Zentrum meiner Vorlesung. Geeignete Stabilitätskonzepte
werden schrittweise hergeleitet. Die Darstellung gipfelt
schließlich in der Analyse des sogenannten
Sacker-Sell-Spektrums.

Vorausgesetzt werden solide Kenntnisse der Analysis,
und der linearen Algebra.

Diese Vorlesung ist mit den - in der Numerischen Mathematik
im Master-Modul 24-M-S2-ND - angebotenen Spezialisierungssequenzen
kombinierbar.