240035 Invarianten endlicher Gruppen (V) (WiSe 2004/2005)

In der Invariantentheorie besch"aftigt man sich mit Gruppen, die durch Automorphismen auf bestimmten Objekten, wie etwa Vektorr"aumen,
Variet"aten oder Algebren operieren. Es geht dabei um die Beschreibung der zugeordneten Bahnenr"aume sowie die Bestimmung der Menge der Fixpunkte.

Im 19. Jahrhundert galt das Interesse der Bestimmung der polynomialen Invarianten gewisser klassischer Gruppen. So zeigte Gordan 1868, dass
die Algebra der Invarianten der Gruppe SL(2) der komplexen (2x2)-Matrizen der Determinante 1 im Polynomring mit zwei Unbestimmten stets
endlich erzeugt ist. Dieses Resultat wurde durch die Einf"uhrung neuer Methoden der kommutativen Algebra von Hilbert und Noether betr"achtlich
verallgemeinert.

Worin besteht nun die Motivation f"ur derartige S"atze? Wir betrachten die Menge der $d$-dimensionalen assoziativen Algebren "uber einem K"orper k.
Diese Menge tr"agt in nat"urlicher Weise die Struktur einer Variet"at X, und die Isomorphieklassen sind gerade die Bahnen unter einer Operation der allgemeinen
linearen Gruppe G=GL(d). Um die Isomorphieklassen in den Griff zu bekommen, m"ochte man die Menge X/G der Bahnen mit einer zus"atzlichen Struktur versehen.
Dies f"uhrt auf das Studium der induzierten Operation von G auf dem Koordinatenring k[X] von X und zu dem Problem der Bestimmung der Algebra Fix(k[X]) der Fixpunkte von G
(Algebra der Invarianten). Hilberts 14. Problem fragt, ob die Algebra Fix(k[X]) endlich erzeugt ist. Diese im Jahre 1900 f"ur beliebige Untergruppen von GL(d) gestellte Frage wurde erst
1959 durch ein Beispiel von Nagata verneint. Allerdings gibt es wichtige Klassen von Gruppen, f"ur die man eine positive Antwort findet.

Wir werden uns in der Vorlesung zun"achst mit endlichen Gruppen und ihren Invarianten besch"aftigen. Im Vordergrund stehen dabei die S"atze von Hilbert-Noether und Molien "uber die
endliche Erzeugung bzw. die Poincare-Reihen polynomialer Invarianten. Anschliessend wird der Zusammenhang zwischen gruppentheoretischen Eigenschaften von G und
ringtheoretischen Eigenschaften seiner polynomialen Invarianten beleuchtet. In zweiten Teil sollen algebraische Gruppen und ihre Operationen behandelt werden. Aufgrund obigen Beispiels
werden dabei die reduktiven Gruppen im Vordergrund stehen (Satz von Nagata).

Kenntnisse der Grundlagen der kommutativen Algebra und der elementaren algebraischen Geometrie sind hilfreich, werden jedoch auch in der Vorlesung bereitgestellt.