241016 Niedrigdimensionale Topologie (V) (SoSe 2022)

Die niedrigdimensionale Topologie beschäftigt sich mit Mannigfaltigkeiten der Dimensionen 1, 2, 3 und 4. Mannigfaltigkeiten der Dimensionen 5 und höher gelten als "höherdimensional" und lassen sich überraschenderweise verhältnismäßig gut systematisch verstehen. Die niedrigen Dimensionen hingegen zeichnen sich dadurch aus, dass jede Dimension ihre eigenen Tücken hat. Besonders viele Tücken lauern in Dimension 4. Ein weiteres Charakteristikum niedrigdimensionaler Mannigfaltigkeiten ist, dass man sie gewissermaßen in R³ "sehen" kann.

Diese Vorlesung soll einen ersten Einblick in die faszinierende Welt der niedrigdimensionalen Topologie bieten. Der Fokus liegt auf geometrischen und algebraisch-topologischen Methoden und ultimativ auf der mysteriösen Dimension 4. Im anschließenden Wintersemester soll es ein weiterführendes Seminar geben.

Folgende Themen sollen in der Vorlesung besprochen werden:
- Klassifikationsprobleme für Mannigfaltigkeiten, exotische differenzierbare Strukturen
- Morse Theorie und Henkelzerlegungen
- Darstellbarkeit von (Ko-)Homologieklassen durch Untermannigfaltigkeiten
- Schnittprodukte und Schnittformen (geometrische Interpretation von Cup Produkten)
- Klassifikation kompakter Flächen mittels mod 2 Schnittform und Henkelkalkül
- Heegaard Zerlegungen von 3-Mannigfaltigkeiten
- Kirby Diagramme von 4-Mannigfaltigkeiten
- Chirurgie
- Homotopieklassifikation einfach zusammenhängender 4-Mannigfaltigkeiten
- Die Sätze von Freedman und Donaldson
- Exotische differenzierbare Strukturen auf R^4

HINWEIS: Bei Bedarf kann die Vorlesung auf Englisch gehalten werden.
NOTE: On request, the course can be taught in English.

Teilnahmevoraussetzungen, notwendige Vorkenntnisse

Grundkenntnisse über differenzierbare Mannigfaltigkeiten sowie Homotopie- und (Ko-)Homologiegruppen sind notwendig. Vorwissen über Orientierbarkeit und Poincaré Dualität ist wünschenswert.

Literaturangaben

[1] Gompf, Stipsicz - 4-Manifolds and Kirby Calculus
[2] Scorpan - The Wild World of 4-Manifolds
[3] Milnor - Morse Theory
[4] Milnor - Lectures on the h-Cobordism Theorem
[5] Wall - Differential Topology