240090 Seminar/Bachelorarbeit Geometrie und Topologie (S) (SoSe 2021)

Ziel und Zielgruppe:
Das Seminar soll die Möglichkeit bieten, die in Geometrie und Topologie I+II erlernten Inhalte zu vertiefen, zu ergänzen, und sie praktisch auf geometrisch-topologische Probleme anzuwenden. Auch Studierende früherer Vorlesungszyklen sind herzlich zur Teilnahme eingeladen. Die Themenauswahl ist bewusst noch breit gefächert, um Studierenden die Möglichkeit zu bieten, ihre eigenen Interessen einzubringen. Nach der Vorbesprechung erfolgt eine konkretere Festlegung.

ACHTUNG: Das Seminar wird parallel für Masterstudierende unter der Veranstaltungsnummer 242550 angeboten.

Mögliche Themenfelder:

• Knotentheorie: Hier muss zunächst geklärt werden, was ein Knoten ist und wann man sie als "im wesentlichen gleich" betrachten will. Danach werden sowohl geometrische, algebraisch-topologische als auch kombinatorische Methoden entwickelt, um Knoten zu unterscheiden. Die Knotentheorie hat auch enge Verbindung zur Theorie der 3- und 4-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.
• Vektorbündel und K-Theorie: K-Theorie ist eine außergewöhnliche Kohomologietheorie, die auf dem Studium von Vektorbündeln über topologischen Räumen basiert. Mit Methoden der K-Theorie lässt sich unter anderem beweisen, dass die reellen und komplexen Zahlen, die Quaternionen und die Cayleyzahlen die einzigen reellen Divisionsalgebren sind.
• de Rham Kohomologie: Differentialformen lernt man in der Regel im Zusammenhang mit Integration und dem Satz von Stokes kennen. Eventuell werden in diesem Kontext auch schon die de Rham Kohomologiegruppen differenzierbarer Mannigfaltigkeiten eingeführt. Der Satz von de Rham besagt, dass de Rham Kohomologie isomorph zur singulärern Kohomologie mit reellen Koeffizienten ist. Diese Brücke zwischen Differentialgeometrie und Topologie ist in beide Richtungen nützlich.
• Der Thom Isomorphismus und Schnitttheorie: Elemente der gewöhnlichen Homologiegruppen von Mannigfaltigkeiten lassen sich oft durch (orientierte) Untermannigfaltigkeiten darstellen. Falls sich zwei Untermannigfaltigkeiten transversal schneiden, entspricht die Homologieklasse des Durchschnitts unter Poincaré Dualität dem cup-Produkt der dualen Kohomologieklassen. So wird die (Ko-)Homologie von Mannigfaltigkeiten "sichtbar". Diese Sichtweise ist vor allem in der niedrigdimensionalen Topologie (bis zu Dimension 4) weit verbreitet.

Sicherlich können nicht alle Themen abgedeckt werden. Realistisch ist eine Festlegung auf ein oder zwei.

Vorbesprechung:
Eine erste Vorbesprechung soll an Donnerstag, dem 11.2. um 12:30 Uhr via Zoom stattfinden. Die Zugangsdaten werden später bekannt gegeben. Falls Sie an diesem Termin nicht teilnehmen können, melden Sie sich bitte per E-Mail bei mir.

Teilnahmevoraussetzungen, notwendige Vorkenntnisse

Vorausgesetzt werden die Lerninhalte aus Geometrie und Topologie I+II (insbesondere topologische Räume, Mannigfaltigkeiten, Fundamentalgruppen und Überlagerungen, Homotopie, Homologie und Kohomologie).

Literaturangaben

Knotentheorie:

• Burde, Zieschang: Knots
• Murasugi: Knot theory and its applications
• Cromwell: Knots and Links

K-Theorie:

• Atiyah: K-Theory
• Knapp: Vektorbündel

de Rham Kohomologie:

• Bredon: Topology and Geometry
• Bott, Tu: Differential forms in algebraic topology
• Lee: Introduction to smooth manifolds

Schnitttheorie:

• Bredon: Topology and Geometry (insbesondere Kap. VI.11-14)