Modul 24-M-GT-RSF Riemannsche Flächen

Die Studieren beherrschen weiterführende Inhalte und Methoden der Theorie der Riemannschen Flächen insbesondere können sie selbstständig sehr komplexe und ein hohes Maß an fachlichen Kompetenzen erfordernde Beweise in diesem Gebiet führen.
Die Studierenden erfassen tieferliegende Eigenschaften komplexer Mannigfaltigkeiten der Dimension 1 und der damit zusammenhängende Theorie der algebraischen Kurven. Sie können Grundbegriffe, grundlegende Eigenschaften und Sätze aus der Funktionentheorie übertragen. Sie können kohomologische Methoden zur Lösung geometrischer Probleme einsetzen. Die Studierenden kennen Beispiele von Riemannsche Flächen wie die komplexe Ebene C, der projektive Raum P^1 über C oder elliptische Kurven über C.

Die Studierenden werden im Bereich Riemannsche Flächen an aktuelle Forschungsfragen herangeführt. Sie können weitere Entwicklungsmöglichkeiten und Forschungsziele erfassen und einschätzen.
Ferner erkennen die Studierende weiter reichende Zusammenhänge zu bereits erarbeiteten mathematischen Sachverhalten. Sie können die bislang erlernten Kenntnisse und Methoden auf tiefer liegende mathematische Problemfelder übertragen und anwenden. Aufgrund einer intensiveren Auseinandersetzung erweitern die Studierende auch ihre mathematische Intuition.
Sie werden im Zusammenspiel mit weiteren vertiefenden Modulen fachlich und methodisch in der Lage sein, im Anschluss eigene Forschungsarbeiten, z. B. eine Masterarbeit im Bereich Riemannsche Flächen zu verfassen.
In den Übungen bauen die Studierende ihre Fähigkeit zur fachmathematischen Diskussion aus und bereiten sich so weiter auf die Anforderungen des Mastermoduls, insbesondere auf die fachliche Diskussion im Rahmen des Masterseminarvortrags und die Verteidigung ihrer Masterarbeit, vor.

Die folgenden weiterführenden Lehrinhalte aus dem Gebiet Riemannsche Flächen sind obligatorisch:

Holomorphe und meromorphe Funktionen, Atlanten, Fundamentalgruppen und Überlagerungen, Garben und Garbenkohomologie, Divisoren, Satz von Riemann-Roch.

Darüber hinaus können z.B. die folgenden Lehrinhalte behandelt werden:
Triangulierengungen, Geradenbündel, Weierstrasspunkte

Dieses Modul bereitet inhaltlich eine Masterarbeit vor.

Algebra, grundlegende Kenntnisses aus der Funktionentheorie und aus der Geometrie/Topologie

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