Modul 24-M-GT-GGT Einführung in die geometrische Gruppentheorie

Die Studierenden beherrschen die grundlegenden Inhalte und Methoden der geometrischen Gruppentheorie, insbesondere können sie selbstständig komplexe und ein hohes Maß an fachlichen Kompetenzen erfordernde Beweise in diesem Gebiet durchführen. Studierende können zentrale Begriffe der Theorie (z.B. Cayleygraph, Quasi-Isometrie, hyperbolische Gruppe, Wachstum, eigentlich diskontinuierliche Wirkung) erklären und korrekt anwenden. Sie kennen Leitbeispiele der Theorie (z.B. freie Gruppen, Matrixgruppen über den ganzen Zahlen, Zopfgruppen, Spiegelungsgruppen) und können an diesen Beispielen Begriffe und Sätze illustrieren. Z.B., können Studierende die Wachstumsfunktionen freier Gruppen bestimmen.
Die Studierenden werdeunregelmäßign im Bereich der geometrischen Gruppentheorie an aktuelle Forschungsfragen herangeführt. Sie können weitere Entwicklungsmöglichkeiten und Forschungsziele erfassen und einschätzen.
Ferner erkennen die Studierenden weiter reichende Zusammenhänge zu bereits erarbeiteten mathematischen Sachverhalten. Sie können die bislang erlernten Kenntnisse und Methoden auf tiefer liegende mathematische Problemfelder übertragen und anwenden. Aufgrund einer intensiveren Auseinandersetzung erweitern die Studierenden auch ihre mathematische Intuition. Sie werden im Zusammenspiel mit weiteren vertiefenden Modulen fachlich und methodisch in der Lage sein, im Anschluss eigene Forschungsarbeiten, z. B. eine Masterarbeit im Bereich der geometrischen Gruppentheorie zu verfassen.
In den Übungen bauen die Studierenden ihre Fähigkeit zur fachmathematischen Diskussion aus und bereiten sich so weiter auf die Anforderungen des Mastermoduls, insbesondere auf die fachliche Diskussion im Rahmen des Masterseminarvortrags und die Verteidigung ihrer Masterarbeit vor.

Die folgenden grundlegenden Lehrinhalte aus dem Bereich Geometrische Gruppentheorie sind obligatorisch:

• Gruppen als metrische Räume (Wortmetrik, Cayleygraph, Hyperbolizität)
• eigentlich diskontinuierliche Wirkungen und der Satz von Schwarz-Milnor
• Quasi-Isometrie und QI-Invarianten / QI-Nichtinvarianten
• CAT(0)-Geometrie und CAT(0)-Gruppen
• Ränder von Gruppen
• Wichtige Beispiele: freie Gruppen, frei abelsche Gruppen, Matrixgruppen über arithmetischen Ringen, Gruppen (äußerer) Automorphismen, Zopfgruppen, Spiegelungsgruppen, die Gruppen von Thompson und Grigorchuk

Darüber hinaus können z.B. die folgenden Lehrinhalte behandelt werden:

• Mittebarkeit und Eigenschaft (T)
• Endlichkeitseigenschaften
• Graphen von Gruppen

Dieses Modul bereitet inhaltlich eine Masterarbeit vor.

Algebra und Geometrie und Topologie

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