Modul 24-M-GT-DG2 Differentialgeometrie und globale Analysis 2

Die Studieren beherrschen weiterführende Inhalte und Methoden der Differentialgeometrie und globalen Analysis, insbesondere können sie selbstständig, auch sehr komplexe und ein höheres Maß an fachlichen Kompetenzen erfordernde Beweise in diesem Gebiet führen. Die Studierenden erwerben ein grundlegendes Verständnis der Symmetrien und ihrer Rolle im Studium der Geometrie von Mannigfaltigkeiten.

Die Studierenden werden im Bereich Differentialgeometrie und globale Analysis an aktuelle Forschungsfragen herangeführt. Sie können weitere Entwicklungsmöglichkeiten und Forschungsziele erfassen und einschätzen.
Ferner erkennen die Studierende weiter reichende Zusammenhänge zu bereits erarbeiteten mathematischen Sachverhalten. Sie können die bislang erlernten Kenntnisse und Methoden auf tiefer liegende mathematische Problemfelder übertragen und anwenden. Aufgrund einer intensiveren Auseinandersetzung erweitern die Studierende auch ihre mathematische Intuition.
Sie werden im Zusammenspiel mit weiteren vertiefenden Modulen fachlich und methodisch in der Lage sein, im Anschluss eigene Forschungsarbeiten, z. B. eine Masterarbeit im Bereich Differentialgeometrie und globale Analysis zu verfassen.
In den Übungen bauen die Studierende ihre Fähigkeit zur fachmathematischen Diskussion aus und bereiten sich so weiter auf die Anforderungen des Mastermoduls, insbesondere auf die fachliche Diskussion im Rahmen des Masterseminarvortrags und die Verteidigung ihrer Masterarbeit, vor.

Die folgenden weiterführenden Lehrinhalte aus dem Bereich Differentialgeometrie und globale Analysis sind obligatorisch:

• Lie-Gruppen, elementare Eigenschaften, relevante Beispiele.
• Hauptfaserbünde und assoziierte Vektorbündel
• Zusammenhänge auf Hauptfaserbündeln
• Krümmung, Chern-Weil-Theorie
• Ricci-Krümmung, Skalar-Krümmung, Weyl-Krümmung
• Clifford-Strukturen und Dirac-Operator, Weitzenböck-Lichnerowitz-Formeln

Darüber hinaus können z.B. die folgenden Lehrinhalte behandelt werden:

• Klassifikation 3-dimensionaler Geometrien
• Räume konstanter Krümmung: Hyperbolische Räume, Raumformen
• Einstein-Mannigfaltigkeiten
• Kähler-Mannigfaltigkeiten

Dieses Modul bereitet inhaltlich eine Masterarbeit vor.

Differentialgeometrie und globale Analysis 1 (24-M-GT-DG1).
Wünschenswert: Liesche Gruppen und Algebren, algebraische Topologie.

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