Modul 24-M-GT-AT2 Algebraische Topologie 2

Die Studieren beherrschen weiterführende Inhalte und Methoden der Algebraischen Topologie, insbesondere können sie selbstständig, auch sehr komplexe und ein höheres Maß an fachlichen Kompetenzen erfordernde Beweise in diesem Gebiet führen.
Sie erwerben grundlegende Werkzeuge rund um die Kohomologie von Mannigfaltigkeiten, wie z.B. die Poincaré-Dualität, und lernen die Maschinerie zur Berechnung höherer Homotopiegruppen. Konkret:

• Die Studierenden sind in der Lage, zentrale Begriffe der Theorie zu definieren (z.B. Fundamentalklassen, Poincaré-Dualität, Fibrationen) und diese im Kontext anzuwenden
• Die Studierenden kennen führende Beispiele der Theorie (z.B. projektive Räume, Hopf-Fibrationen, Grassmannsche Mannigfaltigkeiten) und können diese Beispiele zur Veranschaulichung von Konzepten und Theoremen verwenden, z.B. können sie Cup-Produkte oder niedrigdimensionale Homotopiegruppen einfacher Räume berechnen.

Die Studierenden werden im Bereich Algebraischen Topologie an aktuelle Forschungsfragen herangeführt. Sie können weitere Entwicklungsmöglichkeiten und Forschungsziele erfassen und einschätzen.
Ferner erkennen die Studierende weiter reichende Zusammenhänge zu bereits erarbeiteten mathematischen Sachverhalten. Sie können die bislang erlernten Kenntnisse und Methoden auf tiefer liegende mathematische Problemfelder übertragen und anwenden. Aufgrund einer intensiveren Auseinandersetzung erweitern die Studierende auch ihre mathematische Intuition.
Sie werden im Zusammenspiel mit weiteren vertiefenden Modulen fachlich und methodisch in der Lage sein, im Anschluss eigene Forschungsarbeiten, z. B. eine Masterarbeit im Bereich Algebraische Topologie zu verfassen.
In den Übungen bauen die Studierende ihre Fähigkeit zur fachmathematischen Diskussion aus und bereiten sich so weiter auf die Anforderungen des Mastermoduls, insbesondere auf die fachliche Diskussion im Rahmen des Masterseminarvortrags und die Verteidigung ihrer Masterarbeit, vor.

Die folgenden weiterführenden Lehrinhalte aus dem Bereich Algebraische Topologie sind obligatorisch:

• Poincaré Dualität, inklusive Kohomologie und Cup-Produkt
• Höhere Homotopiegruppen
• Sätze von Whitehead und Hurewicz
• Faserungen und Cofaserungen, topologisch und simplizial
• Homotopieausschneidung

Darüber hinaus können z.B. die folgenden Lehrinhalte behandelt werden:

• Schnitttheorie
• Signaturen von Mannigfaltigkeiten
• Hindernistheorie und Eilenberg-Mac Lane-Komplexe
• Thom’s Isomorphismus und Gysin-Folgen
• Satz von Kan-Quillen
• Teilungen der Einheit
• Klassifikation von Hauptfaserbündeln

Dieses Modul bereitet inhaltlich eine Masterarbeit vor.

Solide Kenntnisse zu Topologischen Räumen, Fundamentalgruppen, Mannigfaltigkeiten, Homologietheorie (auf dem Niveau der Algebraischen Topologie 1) werden erwartet

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