Modul 24-M-AN-RTH Regularitätstheorie für Partielle Differentialgleichungen

Die Studierenden beherrschen weiterführende Inhalte und Methoden der Regularitätstheorie für Partielle Differentialgleichungen, insbesondere können sie eigenständig auch sehr komplexe und ein hohes Maß an fachlichen Kompetenzen erfordernde Beweise in diesem Gebiet führen. Sie sind in der Lage, Regularitätseigenschaften von Lösungen partieller und Integro-Differentialgleichungen zu untersuchen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf elliptischen und parabolischen Differentialgleichungen der Differenzierbarkeitsordnung zwei. Sie können verschiedene Lösungskonzepte anwenden und miteinander verglichen. Sie wenden Kernideen der Theorie, wie z.B.Funktionsräume, Approximationen mit Differenzenquotienten und Bootstrapping-Techniken, Sobolev- und Hölder-Räume einschließlich der Einbettungstheoreme, in verschiedenen Kontexten sachgerecht an.
Die Studierenden werden im Bereich Regularitätstheorie für Partielle Differentialgleichungen an aktuelle Forschungsfragen herangeführt. Sie können weitere Entwicklungsmöglichkeiten und Forschungsziele erfassen und einschätzen.
Ferner erkennen die Studierende weiter reichende Zusammenhänge zu bereits erarbeiteten mathematischen Sachverhalten. Sie können die bislang erlernten Kenntnisse und Methoden auf tiefer liegende mathematische Problemfelder übertragen und anwenden. Aufgrund einer intensiveren Auseinandersetzung erweitern die Studierende auch ihre mathematische Intuition.
Sie werden im Zusammenspiel mit weiteren vertiefenden Modulen fachlich und methodisch in der Lage sein, im Anschluss eigene Forschungsarbeiten, z. B. eine Masterarbeit im Bereich Regularitätstheorie für Partielle Differentialgleichungen,zu verfassen.
In den Übungen bauen die Studierende ihre Fähigkeit zur fachmathematischen Diskussion aus und bereiten sich so weiter auf die Anforderungen des Mastermoduls, insbesondere auf die fachliche Diskussion im Rahmen des Masterseminarvortrags und die Verteidigung ihrer Masterarbeit, vor.

Die folgenden fortgeschrittenen Lehrinhalte aus dem Bereich der Regularitätstheorie für Partielle Differentialgleichungen sind obligatorisch:

• Differenzquotientenverfahren
• Sobolev-Regularität
• Einbettungstheoreme
• Calderon-Zygmund-Zerlegung
• Schauder-Theorie
• Iterationsverfahren von De Giorgi und Moser

Darüber hinaus können z.B. folgende Lehrinhalte behandelt werden:

• Hölder-Regularität für vollständig nichtlineare partielle Differentialgleichungen
• kinetische Gleichungen
• degenerierte partielle Differentialgleichungen
• Besov-Räume

Dieses Modul bereitet inhaltlich eine Masterarbeit vor.

Maß- und Integrationstheorie, Lebesgue-Räume, Grundkenntnisse über elliptische partielle Differentialgleichungen

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