Modul 24-M-AL-LAG Lie Algebren und Lie Gruppen

Die Studieren beherrschen Inhalte und Methoden der Theorie der Lie Algebren und Lie Gruppen, insbesondere können sie selbstständig, auch sehr komplexe und ein hohes Maß an fachlichen Kompetenzen erfordernde Beweise in diesem Gebiet führen.
Studierende können die grundlegenden Begriffe und Techniken Liescher Algebren und Liescher Gruppen anwenden. Sie sind in der Lage, Klassifikationsresultate sowie Ergebnisse der Darstellungstheorie fachlich nachzuvollziehen, einzurodnen und die Methoden auf neue Beispiele zu übertragen.

Die Studierenden werden im Bereich Lie Algebren und Lie Gruppen an aktuelle Forschungsfragen herangeführt. Sie können weitere Entwicklungsmöglichkeiten und Forschungsziele erfassen und einschätzen.
Ferner erkennen die Studierende weiter reichende Zusammenhänge zu bereits erarbeiteten mathematischen Sachverhalten. Sie können die bislang erlernten Kenntnisse und Methoden auf tiefer liegende mathematische Problemfelder übertragen und anwenden. Aufgrund einer intensiveren Auseinandersetzung erweitern die Studierende auch ihre mathematische Intuition.
Sie werden im Zusammenspiel mit weiteren vertiefenden Modulen fachlich und methodisch in der Lage sein, im Anschluss eigene Forschungsarbeiten, z. B. eine Masterarbeit im Bereich Lie Algebren und Lie Gruppen zu verfassen.
In den Übungen bauen die Studierende ihre Fähigkeit zur fachmathematischen Diskussion aus und bereiten sich so weiter auf die Anforderungen des Mastermoduls, insbesondere auf die fachliche Diskussion im Rahmen des Masterseminarvortrags und die Verteidigung Ihrer Masterarbeit, vor.

Liesche Gruppen sind Gruppen, die gleichzeitig eine mit den Gruppenoperationen kompatible differenzierbare Mannigfaltigkeitstruktur tragen. Aus dem Zusammenspiel dieser beiden Strukturen ergeben sich eine Reihe tiefer, fazinierender Synergien, sowohl innerhalb der Mathematik als auch in der mathematischen Physik.
Die Gruppenoperation stiftet auf den Tangentialraeumen einer Lieschen Gruppe die Struktur einer Lieschen Algebra. Das Zusammenspiel zwischen dieser linearen Struktur und der Gruppenstruktur liegt einer Reiher wichtiger Linearisierungsresultate zugrunde, etwa die Darstellungstheorie Liescher Gruppen betreffend.
Die Klassifikation einfacher komplexer Liescher Algebren endlicher Dimension durch Dynkin-Diagramme ist eines der zentralen Klassifikationsresultate der modernen Algebra.

Die Lehrinhalte aus dem Bereich Lie Algebren und Lie Gruppen sind
1. Liesche Algebren (nilpotente, aufloesbare und halb-einfache Liesche Algebren, Ideale, Unteralgebren, Darstellungen, Wurzelraumzerlegung, Killing form)
2. Klassifikation endlich-dimensionaler halb-einfacher komplexer Liescher Algebren (Wurzelsysteme, Dynkin-Diagramme, Cartan-Matrizen)
3. Liesche Gruppen und ihre Lieschen Algebren (lineare Liesche Gruppen, Exponential- und Logarithmusfunktionen, Baker-Campbell-Hausdorff-Formel)
4. Darstellungstheorie Liescher Gruppen und Algebren (Auswahl: etwa Hoechstgewichtstheorie, Weylsche Charakterformel)

Dieses Modul bereitet inhaltlich eine Masterarbeit vor.

Lineare Algebra

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